Rekursive Folge

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Autor Beitrag   Sebastian (frevil) Neues Mitglied Benutzername: frevil Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 03-2003 Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 12:44:    Startwert: a(1)=0 a(n+1) = (a(n))²+1/4 1.Man zeige: a)Die Folge ist durch 1/2 nach oben beschränkt b)Die Folge ist monoton wachsend 2. Falls die Folge konvergent ist, bestimme man ihren Grenzwert   Christian Schmidt (christian_s) Senior Mitglied Benutzername: christian_s Nummer des Beitrags: 1033 Registriert: 02-2002 Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 13:09:    Hi Sebastian a) machen wir mit Induktion a1=0£1/2 Induktionsvoraussetzung an£1/2 Schluss n->n+1 an+1=an²+1/4£1/2 b) an+1-an=an²-an+1/4 =(an-1/2)²³0 Also ist die Folge monoton wachsend und beschränkt und damit konvergent. Den Grenzwert bezeichnen wir mal mit x. Dann gilt: lim(n->oo) an+1=x lim(n->oo) an=x => lim(n->oo) an+1=lim(n->oo) [an²+1/4] <=> x=x²+1/4 <=> (x-1/2)²=0 <=> x=1/2 Der Grenzwert ist also 1/2. MfG C. Schmidt

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