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Jasmin (häslein)
Neues Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 11:21: | 
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Hallöli!!
Kann mir jemand bei der folgeden Aufgabe helfen?
Gegeben ist die Funktion f:R->R;x-> e^x
Die Normale an den Graphen von f im Punkt P(u/f(u)) mit u > 0 oder u = 0, die y-Achse und die Parallele zur x-Achse durch P bestimmen ein Dreieck im ersten Quadranten. Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird und berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt! |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 983
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 14:22: |
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für s, die Steigung der Normalen n(x,u)
gilt
s*f'(u) = -1
also
s = -1/f'(u) = -e-u,
die
Normalengleichung ist
also
n(x,u) = f(u) - (x-u)e-u, die Normale schneidet die y-Achse
also
in n(0,u) = eu + u*e-u
das
gesuchte rechtwinkelige 3eck hat also
die
Kathete u, parallel zur x-Achse und
die
Kathete n(0,u) - f(u) = u*e-u entlang der y-Achse,
also
die Fläche A(u) = u2e-u / 2
2*A'(u) = 2u*e-u-u2e-u= u*e-u(2-u)
soll
fürs Extremum = 0 werden, also u=0 oder u=2,
Maximum für u = 2,
Fläche A(2) = 2/e2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jasmin (häslein)
Neues Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 16:57: |
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Sorry, aber wie kommst du auf den ersten Schritt? Ich habe das mit der Normalengleichung versucht. Da bin ich dann aber nicht weiter gekommen.} |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 381
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 17:04: |
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Hi
Du weißt doch:
Das Produkt zweier zueinander ortoghonaler Geraden ist -1.
Die Steigung der Tangente ist f'(u)
Die Steigung der Normalen sei s.
Dann ist s*f'(u) = -1
und s = -1/f'(u)
MfG Klaus
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 382
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 17:34: |
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Hab was wichtiges vergessen:
Das Produkt der Steigungen zweier zueinander ortoghonaler Geraden ist -1.
MfG Klaus
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Jasmin (häslein)
Junior Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 17:40: |
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Habe noch eine Frage: Wie kommst du auf den Flächeninhalt von u²*e^-u/2? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 985
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 17:46: |
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halbes Produkt der Katheten des 3ecks
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jasmin (häslein)
Junior Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 17:46: |
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Auf das mit den Steigungen hätte ich ja eigentlich alleine kommen müssen, aber... Hab's jetzt mit der Normalengleichung gemacht und bin auch weiter gekommen. Aber der Flächeninhalt... Und noch was: Bin mir nicht sicher, ob meine Begründung dafür stimmt, dass f'(u)=e^u ist. Hilfe? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 986
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 17:49: |
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Begründung wofür?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jasmin (häslein)
Junior Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 17:50: |
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Ups, das mit dem Flächeninhalt war doch die Formel 1/2*g*h, oder? Danke für eure Hilfe. Wäre glaube ich verzweifelt.... Kann mir jetzt noch jemand sagen, warum die Ableitung von u gleich e hoch u ist? Das kann ich doch daraus ableiten, dass f(x) gleich e^x ist, oder? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 987
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 18:02: |
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JA, Flächeninhalt hast Du richtig verstanden.
Ist
etwas lang geworden, der Thread.
WO (Nr. des Beitrags) hat WER behauptet, die Ableitung von u sei e hoch u?
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jasmin (häslein)
Junior Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 18:06: |
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Im ersten Beitrag von dir. Wenn -1/f'(u)=-e^-u ist, dann muss f'(u) doch e^u sein, oder? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 988
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 18:14: |
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OK, Du meinst, die Ableitung NACH u,
diese
Zeile
s = -1/f'(u) = -e^-u; und natürlich stimmt
Wenn -1/f'(u)=-e^-u ist, dann muss f'(u) doch e^u sein.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Jasmin (häslein)
Junior Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 18:19: |
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Okay, danke schön! Du hast mir echt unheimlich geholfen!!! ;-)) |
