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Beitrag |
    
Juliane Bürke (coola)
Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. März, 2003 - 12:05: | 
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Hallo!
Folgende Aufgaben, die unser Lehrer nicht erklären und ich nicht lösen kann:
Für welchen Wert des Parameters "q" hat das Gleichungssystem genua eine Lösung, keine Lösung,unendlich viele Lösungen?
I)3a-2b+qc=4
a+3b-c=1
2a-5b+3c=3
II) a+b-5c=6
2a-qb+7c=-1
6a+6b-17c=13
III) 2a+4b-2c=-4
11a+18b+2c=-6
a+qb+4c=q
Wäre cool, wenn ihr Erklärungen dazuscheiben könntet.
Danke schonmal.
THX J. |
Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. März, 2003 - 14:33: |
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hallo juliane!
ich hab jetzt mal I) probiert:
wenn man da mit dem gauß-algorithmus rangeht, bekommt man bei zeile wie:
3qc - 6c = 0 Þ q = 2
Þ
wenn q = 2 und c = 0, gibt es eine lösung,
wenn q = 2 und c ¹ 0, gibt es unendlich viele lösungen und
wenn q ¹ 2 gibt es keine lösung
hoffe, dass das so richtig ist!!
mfg
kipping |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1996
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. März, 2003 - 18:07: |
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Hi Steve,
Offenbar bist Du in einem Irrtum, da Du die Aufgabe nicht richtig
interpretierst hast.
Bei allen drei Aufgaben sind a, b, c die zu bestimmenden
Gleichungsvariablen.
Es liegen drei Gleichungssysteme mit den drei Unbekannten a, b, c
vor;q übernimmt die Rolle eines Parameters.
Das Ergebnis der ersten Aufgabe lautet nach meinen Berechnungen
(auch meinerseits Irrtum vorbehielten!):
Für q verschieden von 2 hat das System eine eindeutige Lösung:
Es gilt dann: a = 14/11, b = - 1/ 11, c = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Für q = 2 hat das System unendlich viele Lösungen.
Mit t als Parameter können diese so notiert werden:
a = 1/11 * (14 – 4 t) , b = 1/11 * (-1 + 5 t ) , c = t.
Man müsste Juliane Bürke fragen, wie weit sie mit der Theorie
und Praxis der linearen Gleichungssysteme vertraut ist;
ob die Methode, solche Probleme auch mit Determinanten
anzugehen, ihr bekannt ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 109
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. März, 2003 - 20:52: |
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hallo megamath!!
du hast sicher recht, das will ich gar nich abstreiten.
aber war die frage nicht, wie q zu wählen ist, um jeweils die 3 verschiedenen lösungen zu erhalten?
und ich verstehe folgendes nicht:
also immer noch zu I)
die lösungen für q sind ja relativ identisch.
aber wenn q ¹ 2 ist, erhält man doch einen widerspruch und das würde doch bedeuten, dass das LGS keine lösung hat! richtig?
mfg
kipping |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 339
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. März, 2003 - 21:17: |
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Hi Steve
Ich darf mich kurz einmischen?
aber wenn q ungleich 2 ist, erhält man doch einen widerspruch und das würde doch bedeuten, dass das LGS keine lösung hat! richtig?
Du hast völlig zurecht 3qc - 6c = 0 erhalten.
Das stimmt.
Wenn q ungleich 2 wird, steht dann eine Gleichung, die auf den ersten Blick vielleicht unlösbar scheint.
Dabei stellt sich aber auch immer die Frage (wie es H.R.Moser gemacht hat) wie sich c verhält. Wenn c Null wird, hat das LGS dennoch eine Lösung. Denn c kann auch den Wert NULL annehmen. Damit ist für q-Werte ungleich 2 die Gleichung 3qc - 6c = 0 dennoch erfüllt. Dies führt zu einer eindeutigen Lösung.
Demnach hat H.R.Moser alles richtig gemacht (wie immer eben)!
Verstanden?
MfG Klaus
(Beitrag nachträglich am 06., März. 2003 von Kläusle editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1997
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. März, 2003 - 22:11: |
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Hi Steve,
Am unverfänglichsten ist es wohl,
wenn ich die erste Teilaufgabe von Grund auf löse.
Ich nehme mir die Freiheit, die Unbekannten mit x , y , z
zu bezeichnen statt mit a,b,c.
Das gegebene System lautet demnach:
3 x – 2 y + q z = 4
x + 3 y – z = 1
2 x - 5 b + 3c = 3
Es sei mir ferner freigestellt, zur Lösung die Methode
mit den Determinanten zu wählen.
Wir benötigen vier dreireihige Determinanten. D, D1, D2 ,D3
Die zugehörigen (3,3)-Matrizen seien mit A, A1, A2, A3
bezeichnet und in zeilenweiser Anordnung geschrieben.
Die Hauptmatrix A entnehmen wir der linken Seite des
Gleichungssystems:
A: = matrix [[3,-2,q],[1,3,-1],[2,-5,3]]
Dazu gehört die Determinante
D = det(A) = 22-11 q.
Nun kommen kolonnenweise die Terme auf der rechten Seite
des Systems zum Zug; wir erhalten der Reihe nach
A1:= matrix [[4,-2,q],[1,3,-1],[3,-5,3]] ,
D1 = det(A1) = 28 - 14 q
A2 = matrix[[3,4,q],[1,1,-1],[2,3,3]]
D2 = det (A2) = - 2 + q
A3 = matrix[[3,-2,4],[1,3,1],[2,-5,3]]
D3 = det (A3) = 0
Nun gilt allgemein nach Cramer:
x * D = D1, y * D = D 2, z * D = D3………………………………..(Cr)
Wir bearbeiten nun den Fall, dass die so genannte Systemdeterminante
D von null verschieden ist, dies ist gleichbedeutend mit
q nicht 2
°°°°°°°°°
Dann kann durch D dividiert werden und wir erhalten
die eindeutig bestimmte Lösung des Systems:
x = D1/D = [14(2-q) ] / [11(2-q) ] = 14 / 11, q hat sich weg gehoben!
y = D2/D = [- (2-q) ] / [11(2-q) ] = - 1 / 11, q hat sich weg gehoben!
z = D3/D = 0 / [11(2-q) ] = 0 , q hat sich weg gehoben!
Für den Fall D = 0 sieht man aus den Beziehungen (Cr) sofort,
dass das System unendlich viele Lösungen hat.
Man erkennt das auch analytisch - geometrisch daran, dass die drei
Ebenen, deren Gleichungen durch das Gleichungssystem vorgegeben sind,
ein Ebenenbüschel bilden.
Der Lösungsraum des Systems besteht in diesem Fall aus der Achse des
Büschels, das heißt aus der Schnittgeraden je zweier dieser Ebenen;
die Dimension dieses Raumes ist somit 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 110
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. März, 2003 - 22:55: |
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@kläusle:
danke, jetzt hab ichs verstanden. hab dann die fälle für c nicht mehr unterschieden.
@megamath:
hab da jetzt auf die schnelle nicht ganz durchblicken können, weil mir das rechnen mit matrizen nicht geläufig ist. werde mir das morgen aber noch mal anschauen.
danke euch beiden!!
mfg
kipping |
Juliane Bürke (coola)
Mitglied
Benutzername: coola
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. März, 2003 - 18:31: |
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Hey!
Also, eigentlich haben wir in der Schule bisher immer versucht, das LGS mit Additionsverfahren zu lösen...!Sorry, aber mit Matrizen kenn ich mich gar net aus...Ebenso wenig mit Determinanten.
Soweit ich das überschauen kann, geht es in der Aufgabe darum, q so zu bestimmen, dass die Gleichungen stimmen. Man muss doch dann das Additionsverfahren anwenden, um letzendlich einen Term für q herauzubekommen, der z.B. so lauten könnnte:
q= (2a-3b)/c oder so in der Art. Jedenfalls hätten wir heute in der Schule die Aufgabe besprochen. Ich bin aber leider krank und deswegen wär`s echt voll cool, wen jemand hier die Aufgabe verständlich erklären könnte...
Danke scho`mal |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 413
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. März, 2003 - 18:55: |
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Haiii!
Natürlich kann man das Problem auch mit dem Additionsverfahren lösen. Allerdings ist auf alle Fälle das Wissen darüber erforderlich, wann das lGS genau eine, keine, oder unendlich viele Lösungen besitzt.
3a - 2b + qc = 4
a + 3b - c = 1
2a - 5b + 3c = 3
Genau eine Lösung gibt es, wenn die Gleichungen voneinander unabhängig und widerspruchsfrei sind.
Keine Lösung (Lösungsmenge leer) muss aus einem Widerspruch resultieren.
Unendlich viele Lösungen ergeben sich bei Abhängigkeit einer Gleichung von einer anderen.
Wir werden zunächst eine Unbekannte (hier aber nicht c) eliminieren, beispielsweise a:
a + 3b - c = 1 | *(-2)
2a - 5b + 3c = 3 ..... +
----------------------
- 11b + 5c = 1
3a - 2b + qc = 4
a + 3b - c = 1 |*(-3) +
---------------------
- 11b + (q + 3)c = 1
Durch diese Prozedur erhalten wir nun 2 Gleichungen in b und c:
- 11b + 5c = 1
- 11b + (q + 3)c = 1
----------------------
Hier gibt es eine besondere Konstellation der Koeffizienten.
Damit dieses System keine Lösung hat, müsste es einen Widerspruch ergeben! Das ist hier wegen der Gleichheit der anderen Koeffizienten nicht möglich.
Im Falle, wenn q + 3 = 5 bzw. q = 2 ist, sind die letzten beiden Gleichungen identisch, also voneinander abhängig und es existieren unendlich viele Lösungen.
Für alle q <> 2 hat das System das Tripel {( 14/11; -1/11; 0)} als Lösungsmenge.
Den Fall, dass nur die leere Menge als Lösungsmenge existiert, gibt es hier nicht.
Zur Illustration noch das andere Beispiel:
a + b - 5c = 6 | *(-2) .. |*(-6)
2a - qb + 7c = -1 | +
6a + 6b - 17c = 13 | (+)
--------------------
hier a eliminieren
(-2 - q)*b + 17c = -13
13c = - 23
-------------------------
Fall q = -2: -> Widerspruch*), keine Lösung, L = {}
*) c = -13/17 UND c = -23/13 unmöglich
Fall q <> -2: c = -23/13, b = (13 - 17*23/13)/(q + 2), a = ...
Es gibt genau ein Lösungstripel!
Der Fall unendlich vieler Lösungen kann hier nicht eintreten, da eine Abhängigkeit der Gleichungen nicht möglich ist.
Gr
mYthos
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