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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 105
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. März, 2003 - 16:20: | 
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hallo ihr!!
vielleicht könnt ihr mir ja helfen!?
wie muss man mit den grenzwertsätzen "spielen", damit folgendes ergebnis gilt?
lim n®oo (1 + 1/n)n = e
vielen dank im voraus!
mfg
kipping |
Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. März, 2003 - 21:25: |
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hat echt keiner eine idee, warum dieser limes gegen e strebt?? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 993
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 10:30: |
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das ist ja eine Definition von e
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 114
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 20:32: |
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ist das jetzt nur eine form e darzustellen?
ich meine, ich würde e jetzt nur experimentell bestimmen können, aber eine möglichkeit den grenzwert auszurechnen gibt es wohl nicht, oder?
mfg
kipping |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 997
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 20:56: |
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das einzige was mir dazu einfällt ist leider
ein "Zirkelschluß"
indem
man den ln des Grenzwertes berechnet
-
was natürlich die Kenntnis von e und e^x voraussetz
-
und daher eben ein "Zirkelschluß" ist - aber natürlich demonstriert daß die "Theorie" stimmt.
Aber
aus einer Näherung ("sehr großes" n) entstanden
die 1ten praktisch verwendeten "Logarithmentafel"
-
sie enthielten einfach sehr genau berechnete
Potenzen von (1 + 1/n) .
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 21:06: |
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hm...
danke dir trotzdem!!
mfg |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 137
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 21:42: |
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Das ist eine Darstellungsform von der Eulerschen Zahl e.
Analytisch gelangt man zu dieser Darstellung folgendermaßen.
Sei f(x) = ax eine Exponentialfunktion mit a > 0, so ist der Differenzenquotient:
f~(x) = (ax + h - ax)/h = ax * (ah - 1)/h
Wie wir sehen ist für die Ableitung nur der letzte Teil relevant. Wir suchen nun das a, bei dem lim(h->0) (ah - 1)/h = 1 ist. D.h. der Anstieg der Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 ist 1. Durch ein paar weitere Betrachtungen erhält man dann die Darstellung:
a = lim(n->oo)(1 + 1/n)n = e
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 22:17: |
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hallo robert!
ich glaube, jetzt hab ichs verstanden...
man setzt voraus, dass die ableitung von ax = ax ist und versucht dann a näher zu bestimmt und dies führt dann auf den limes?
aber nun verstehe ich noch folgendes nicht:
wenn man ganz stur die grenzwertsätze anwende, bekommt man doch
wenn n®oo geht
(1 + 0)oo
und das würde doch 1 ergeben!?
mir würde schon genügen, wenn man zeigen könnte, dass der grenzwert dieses limes > 1 ist oder zumindest von 1 verschieden.
mfg
kipping |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 138
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 22:28: |
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Also zum ersten: Ja man setzt voraus, dass die Ableitungsfkuntion gleich der Ausgangsfunktion ist -> f(x) = f'(x).
Zum zweiten:
Bei (1 + 1/n)n kannst du nicht ohne weiteres den Limes bilden, da wir hier nach binomischen Lehrsatz eine unendliche Reihe haben!!!! Grenzwertsätze dürfen heir nicht angewandt werden. |
Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 22:35: |
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ja gut...
an die unendliche reihe hab ich gar nicht gedacht. wenn man die darauf nich anwenden darf, gut, das wusste ich nicht und würde auch einiges klären!
danke dir!! |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 22:47: |
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Ich will dich nicht ganz verwirren, aber man kann durch Anwendung des Binomischen Lehrsatzes folgendes umformen:
limn->oo(1 +1/n)n = Soo i=01/(i!)
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. März, 2003 - 23:12: |
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nee...wird schon nicht :-)
die form war mir bekannt,
aber auch seh ich auch den zusammenhang. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1052
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. März, 2003 - 19:30: |
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Hi Steve
Ich zeige dir mal einen Beweis, dass deine Folge konvergiert. Wir formen erstmal nach den binomischen Lehrsatz um:
Die eckigen Klammern sollen Binomialkoeffizienten sein, d.h. [a;b] bedeutet a über b.
(1+1/n)n=1+[n;1]*1/n+[n;2]*1/n²+...+[n;n]*1/nn
=1+1+1/2!*(1-1/n)+...+1/n!*(1-1/n)(1-2/n)*...*(1-( n-1)/n)
Hier steckt im Prinzip auch schon der Beweis für die von Robert angegebene Beziehung drin.
Außerdem sieht man, dass deine Folge monoton steigend ist. Jetzt kommen wir zum zweiten Teil. Wir müssen zeigen, dass die Folge beschränkt ist, denn eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent.
Des weiteren folgt aus der oberen Gleichung:
(1+1/n)n<1+1+1/2!+...+1/n!
Wie man leicht nachweist gilt:
1/1!=1/20
1/2!=1/21
1/n!<1/2n-1 für n>2 aus N
Daraus folgt
1+1/2!+...+1/n!<1+1/2+...+1/2n-1
Die rechte Seite ist eine geometrische Reihe, also ist sie gleich
(1-(1/2)n)/(1-1/2)
Hier können wir den Grenzwert leicht berechnen, er ist nämlich 2.
Insgesamt folgt jetzt:
(1+1/n)n<1+1+1/2!+...+1/n!<1+2=3
D.h. die Folge wird durch 3 nach oben beschränkt und konvergiert damit gegen eine Zahl zwischen 2 und 3. 2 deshalb, weil sich mit n=1 ergibt (1+1)1=2 und die Folge monoton steigend ist.
Wir können sogar noch einen Schritt weiter gehen!
Wir betrachten mal folgendes:
(1+e)1/e
Wobei e eine Nullfolge ist.
Für jedes positive e gibt es eine natürliche Zahl mit n£1/e<n+1. Damit auch 1/n³e>1/(n+1). Das liefert:
(1+1/(n+1))n<(1+e)1/e<(1+1/n)n+1
bzw.
1/(1+1/(n+1))*(1+1/(n+1))n+1<(1+e)1/e<(1+1/n)n*(1+1/n)
Für n->oo geht e gegen 0 und wie man sieht folgt dann aus unserer Ungleichungskette, dass der mittlere Term gegen e geht, weil es der linke und rechte auch tun.
Soweit erstmal...
Falls du Fragen hast kannst du dich ja nochmal melden.
MfG
C. Schmidt |
Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 119
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. März, 2003 - 14:52: |
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danke christian!
das reicht als antwort vollkommen aus!
mfg |
