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Beitrag |
    
Julia (cherie)
Mitglied
Benutzername: cherie
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 19:49: | 
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Hallo...
Ich brauche dringend hilfe bei der folgenden Aufgabe:
f(x)=2*sin((pi/6)*x)
Dazu soll eine Kurvendiskussion durchgeführt werden. Die Nullstelle mit x=6*k hab ich schon herausgefunden.. Jetzt hake ich bei den Extremwerten und den Wendepunkten... Wie genau geht man hier mit dem k um? Ähnlich wie bei einer Funktionenschar? Weil man kann doch nicht einfach nur positiv und negativ unterscheiden, da es bei einer Sinus-Funktion ja mehrere Hoch- und Tiefpunkte gibt...
Wäre toll, wenn mir dabei jemand möglichst schnell helfen könnte...
Vielen Dank schonmal im Voraus...
Lieber Gruß - Julia |
Matthias Häfele (amazing_maze)
Mitglied
Benutzername: amazing_maze
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 20:26: |
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Naja, leiten wir halt mal ab.
f'(x)=2*cos((pi/6)*x)*pi/6
Da sind die Nullstellen offensichtlich so zu bestimmen:
(2k+1)/2=x/6, also x=6k+3 (k aus Z)
also haben wir das erste Extremum bei x=3, dann immer im Abstand von 6 nach rechts und links. Ausserdem haben wir immer abwechselnd ein Maximum und ein Minimum. Also müssen wir nur noch bestimmen, ob bei x= 3 ein min oder ein max liegt.
Man könnte hier schon durch einsetzen erkennen, dass f(3)=2 ein Maximum sein muss (sin ist immer kleiner gleich 1, also ist 2* sin immer kleiner gleich 2 also muss für den y-Wert 2 ein Maximum vorliegen)
Aber da wir sowieso noch mal ableiten müssen...
f''(x)=-sin((pi/6)*x)*pi²/9
ist für x=3 ofensichtlich negativ, also ist dort in der Tat ein Maximum.
also Maxima bei 3, 15, 27,....
und Minima bei -3, 9, 21
Das lässt sich dann ausdrücken durch
Maxima: x=3+12*k
Minima: x=9+12*k
Die Nullstellen der 2. Ableitung sind mit den Nullstellen von f(x) identisch, also sind alle Nullstellen Wendepunkte.
Also:
NST x=6*k immer:k aus Z
Hochpunkte: x=3+12*k
Tiefpunkte: x=9+12*k
Wendepunkte: x=6*k
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