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Leen (curly)
Neues Mitglied
Benutzername: curly
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. März, 2003 - 19:17: | 
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Hey Leute,
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! Ich war krank und hab somit den Mathestoff nicht ganz mitbekommen, leider kann mir auch keiner meiner Mitschüler verraten, wie diese dummen Hausaufgaben gehen! *kotz*
Leider wird ich durch das Lesen der Beispiele auch nicht schlauer.....
Ich bitte um HILFEEEEEEEEEE! 
1) Die Schnittpunkte der Graden g, h, i sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC. Berechnen Sie die Koordinaten von A, B und C.
g: x (mit so nem vektor pfeil)= (0 –1 2 ) [untereinander geschrieben versteht sich]+ r(-2 2 1 ), h: x= (3 –1 –2)+ s(-2 –4 6), i: x =(5 3 –8) +t(11 –2 –13)
Sollte ich da vielleicht g und h, h und i und g und i gleichsetzten..., hätte ich dann die Schnittpunkte?
2) Gegeben ist die Ebene E: x= (3 0 2)+ r (2 1 7) + s(3 2 5).
Bestimmen Sie für p eine Zahl so, dass der Punkt P in der Ebene E liegt.
(1) P(4/1/p)
(2) P(p/0/7)
Würd das funktionieren :
(4 1 p)= (3 0 2)+r(2 1 7)+s(3 2 5)
würd das aufgehen? Denn anders hätte ich absolit keine idee...
3)Geben Sie zwei verschiedene Parametergleichnungen der Ebene E an, die durch die Punkte A, B und C festgelegt sind.
A(2/0/3), B(1/-1/5), C(3/-2/0)
So und nu muss ich irgendwas mit dem Orts bzw. Spannvektor machen... aber wenn ich jetzt auch noch wüsste, was das überhaupt wirklich ist... tja...
Und warum 2? Könnt ich nicht theoretisch auch3 angeben, wenn nicht sogar mehr?
Danke im voraus
Curly
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Matthias Häfele (amazing_maze)
Junior Mitglied
Benutzername: amazing_maze
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 02:19: |
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ok in den Klammern stehen die Koordinaten (erst x, dann y, dann z) bezogen auf die drei Achsen. Jede Koordinate wird unabhängig von der anderen berechnet.
1)
Die Punkte A,B,C liegen im dreidimensionalen Raum, haben also auch 3 Koordinaten.
Geraden schreibt man durch drei Komponenten:
-Aufhängepunkt (da "startet" die Gerade)
-Streckungsfaktor (der ist variabel, kann auch negativ sein -> Gerade und keine Halbgerade)
-Richtung (die Richtung der Gerade, mit Hilfe des Streckungsfators "bewegt" man sich dann entlang dieser Richtung und erhält so die Gerade)
Bsp.:
Bei g ist (0 -1 2) der Aufhängepunkt, r der Streckungsfaktor und (-2 2 1) die Richtung.
Also: für r= 0 erhalten wir (0 -1 2), was somit ein Punkt der Gerade ist (logisch, is ja der Aufhängepunkt) für r=1 bekommen wir (-2 1 3) als Punkt der Geraden (Richtung mit Streckungsfaktor multiplizieren und komponentenweise addieren)
Nun zur Aufgabe:
Für Schnittpkt von g und h muss gelten:
-2r=3-2s
-1+2r=-1-4s
2+r=-2+6s
Wir sehen: ein überbestimmtes GLS (das zeigt, dass sich im dreisimensionalen zwei Geraden nicht schneiden müssen, sie können auch "windschief" sein)
Hier geht's aber glatt auf:
r=-2s (aus II) in (I): 4s=3-2s <=> s=1/2 => r=-1
Passt für alle drei Gleichungen
Also können wir jetzt in g oder h den Wert für s bzw. r einsetzen und erhalten den gesuchten Punkt:
A(2 -3 1)
ebenso für B und C
2)
Eine Ebene "funktioniert" so ähnlich wie eine Gerade: Es gibt einen Aufhängepunkt und zwei Richtungen mit Streckungsfaktoren. (Klar, eine Ebene hat 2 Dimensionen)
Wir gehen wieder komponentenweise vor:
3+2r+3s=4
2r+2s=1
2+7r+5s=p
(I)-(II): 3+s=3 => s=0 => r=1/2
in (III) einsetzen: 2+7*0,5=p <=>p=5,5
Ebenso bei der zweiten.
3)
OK, ich hab oben was von Richtungen gesabbelt. Das sind natürlich Vektoren. Immer, wenn man 2 Punkte hat, dann bastelt man sich den Vektor zwischen den Punkten (abziehen der Koordinaten komponentenweise) und hat die Richtung. Dann nimmt man einen der beiden Punkte als Aufhängepunkt -> fertig ist die Geradengleichung.
Bei einer Ebene muss man halt 2 Richtungsvektoren bauen, dafür hat man ja auch 3 Punkte:
Also hier:
Aufhängepunkt (2 0 3)
Richtungsvektor1: (1 -1 5) - (2 0 3) = (-1 -1 2)
Richtungsvektor2: (3 -2 0) - (2 0 3) = (1 -2 -3)
und die Ebene E: (2 0 3) + r(-1 -1 2) + s(1 -2 -3)
Jetzt nimmst du einfach einen anderen Punkt als Aufhängepunkt und schon hast du eine weitere Schreibweise.
Du könntest tatsächlich eine dritte angeben, aber alle anderen wären dann nur Vorzeichenvariationen der Richtungsvektoren (es sei denn du bestimmst weitere Punkte der Ebene, dann kannst du unendlich viele Aufhängepunkte und damit unendlich viele Schreibweisen finden)
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