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Markus Koch (spindula)
Neues Mitglied
Benutzername: spindula
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. März, 2003 - 17:10: | 
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1. Durch f(x)= x³ + a/2*x² + (a+1)x ist eine Funktionsschar fa und ein Schaubild Ka gegeben.
Für welche a-Werte schneidet Ka die 2. Winkelhalbierende dreimal (zweimal, einmal) ?
2. Durch f(x)= x² + kx - k ist eine Funktionsschar gegeben. Das Schaubild von fk sei Ck.
Gib die Gleichung der Kurve an, auf der alle Tiefpunkte der Kurvenschar liegen.
(Anleitung: Drücke die Koordinaten x und y des Tiefpunktes von Ck durch k aus; eliminiere k.)
3. Eine zur y-Achse symmetrische
Parabel 4.Ordnung soll durch den Ursprung gehen und für x=1 einen Wendepunkt haben.
a) Zeige, dass es unendlich viele Parabeln dieser Art gibt. Welche Punkte haben alle diese Parabeln gemeinsam ?
b) Für welche dieser Parabeln sind die Wendetangenten orthogonal ?
c) Für welche Parabel gehen die Wendetangenten durch A(0|3) ?
4. Das Schaubild einer Funktion f mit f(x)=ax³ + bx² + cx hat bei x=1 einen Hochpunkt, bei x=2 einen Wendepunkt und schließt mit der x-Achse eine Fläche ein mit dem Inhalt 9 FE. Gib f(x) an !
Bitte helft mir ! Ich schreibe am Montag nämlich eine Klausur |
Matthias Häfele (amazing_maze)
Junior Mitglied
Benutzername: amazing_maze
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 01:49: |
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1) Ich gehe mal davon aus, dass mit der zweiten Winkelhalbierenden die Gerade f(x)=-x gemeint ist.
Bedingung für Schnittpunkte:
x3+a/2*x2+(a+1)*x=-x
Für x=0 ist das stets erfüllt, d.h. unabhängig von a existiert der Schnittpunkt (0|0)
Dann dürfen wir umformen:
x2+a/2*x+a+1=-1
x2+a/2*x+a+2=0
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind die x-Koordinaten der anderen Schnittpunkte.
Also gibt es insgesamt
3 Schnittpunkte, wenn diese Gleichung 2 Lösungen hat (Diskriminante größer Null)
2 Schnittpunkte, wenn diese Gleichung 1 Lösung hat
(Diskriminante gleich Null)
nur einen Schnittpunkt (0|0), wenn diese Gleichung keine Lösung hat (Diskriminante kleiner 0)
Aus den Bedingungen für die Diskriminante können die Bedingungen für das a hergeleitet werden.
2)
x2+kx-k
nach oben offene Parabel, d.h. die Nullstelle der 1. Ableitung ist die x-Koordinate des Minimums:
2x+k=0 <=> k=-2x <=> x=-k/2
Also lautet die x-Koordinate des Minimums immer -k/2
y-Koordinate durch einsetzen:
(-k/2)2+k*(-k/2)+k=-k2/4-k
Also gilt stets für die y-Koordinate des Minimums: y=-k2/4-k
nun setzen wir wieder die k-x-Beziehung ein: k=-2x
also y=-(-2x)2/4-(-2x)=-x2+2x
Womit die Gleichung der Kurve aller Tiefpunkte gefunden wäre.
3)
a)
Allgemeine Parabel 4. Ordnung:
f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e
Ursprung (0|0) => e = 0
Symmetrie zur y-Achse => f(x)=f(-x)
ax4+bx3+cx2+dx=ax4-bx3+cx2-dx
2bx3+2dx=0
bx2+d=0
Wendepunkt bi x=1:
notwendig:
2. Ableitung = 0
12a+6b+2c=0
Symmetrie => Wendepunkt bei x=-1
12a-6b+2c=0
=> 12b=0 => b=0 => d=0 (siehe oben:bx2+d=0)
=> 6a+c=0 also c=-6a
also gilt:
f(x)=ax4-6ax2
Dies hängt immer noch von a ab, also gibt es unendlich viele dieser Parabeln.
Alle diese Parabeln gehen offensichtlich durch den Punkt (0|0).
Um die anderen gemeinsamen Punkte zu finden formen wir um:
f(x)=ax4-6ax2=(ax2-6a)*x2
Den letzten Faktor haben wir schon beachtet (Schnittpunkt bei x=0) also betrachten wir:
ax2-6a
Wir schneiden mit einer beliebigen anderen Parabel aus der Schar:
hx2-6h=ax2-6a auflösen nach x:
x2*(h-a)=6h-6a <=> x2=6 <=> x=±60,5
In der Tat: Für diese beiden x-Werte nimmt die Funktionsgleichung unabhängig von a den Wert 0 an.
Also existieren 3 gemeinsame Punkte aller Parabeln.
b)
Wendepunkte bei x=1 und x=-1
Wendetangenten-> Steigung aus 1. Ableitung, Steigungen müssen multipliziert -1 ergeben für Orthogonalität:
f(x)=ax4-6ax2
f'(x)=4ax3-12ax
f'(1)=4a-12a=-8a
f'(-1)=-4a+12a=8a
es muss also gelten:
-64a2=-1 <=>
a=1/8
c) Wendetangente durch x=1 aufstellen:
f(1)=-5a
f'(1)=-8a
also: -5a=-8a*1+t <=>t=3a
Gleichung der Tangente: y=-8ax+3a
also muss a=1 gelten, damit die Wendetangente durch (0|3) geht.
Andere Wendetangente: y=8ax+3a (Symmetrie!)
auch hier muss a=1 gelten
Also gehen für a=1 die Wendetangenten durch (0|3).
4)
f(x)=ax³ + bx² + cx
Hochpunkt:
notwendige Bedingung: f'(x)=0
3ax2+2bx+c=0 für x=1 <=>
3a+2b+c=0
Wendepunkt: Notwendige Bedingung: f’’(x)=0
6ax+2b=0 für x=2 <=>
12a+2b=0 <=>
b=-6a
=>c=9a
(siehe: 3a+2b+c=0 <=> c=-2b-3a=-2*(-6a)-3a=12a-3a)
f(x)=ax3-6ax2+9ax=ax*(x2-6x+9)=ax*(x-3)2
f(x) hat offensichtlich 2 Nullstellen: x=0 x=3
Jetzt noch Integrieren:
a/4x4-2ax3+(9a/2)x2+k
Obergrenze - Untergrenze =9
a/4*81-2a*27+(9a/2)*9-0=9
9a/4-6a+9a/2=1
9a-24a+18a=4
3a=4
a=4/3
also f(x)=4/3*x³ -8x² + 12x
Die Probe bestätigt, dass diese Funktion alle Voraussetzungen erfüllt.
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Lizzy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. September, 2011 - 18:57: |
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Hallo 
Durch f t (x)= x²-4tx-2t ist eine Funktionsschar gegeben.
a) Welche Koordinaten hat der Tiefpunkt des Schaubildes von f t in Abhängigkeit von t?
b) Für welchen t-Wert liegt der Tiefpunkt am höchsten? Geben Sie f1 für diesen Wert an! |
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