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Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 14:00: | 
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Ich habe mal versucht zu beweisen, dass die Dreiecksungleichung auch für komplexe Zahlen gilt. Vielleicht kann ja mal einer meinen Beweis durchschauen und sagen, ob das als Beweis reicht.
z=a+bi
w=x+yi
|z+w|<=|z|+|w|
<=> sqrt((a+x)^2+(b+y)^2)<=sqrt(a^2+b^2)+sqrt(x^2+y^2)
<=>a^2+2ax+x^2+b^2+2by+y^2<=a^2+b^2+2sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))+x^2+y^2
<=>ax+by<=sqrt((a^2+b^2)(x^2+y^2))
<=>a^2*x^2+2abxy+b^2*^2<=a^2*x^2+a^2*y^2+b^2*x^2+b^2*y^2
<=>0<=a^2*^2-2abxy+b^2*x^2
<=>0<=(ay-bx)^2 [Durch das Quadrat wird die rechte Seite immer >=0]
Ich hoffe mal das stimmt soweit;)
Jetzt würde mich noch interessieren,wie man das auf n Summanden verallgemeinert. (Sowohl für reelle Zahlen, als auch für dieses Beispiel hier mit den komplexen Zahlen)
Den Beweis der Ungleichung für 2 reelle Zahlen kenne ich schon, also würde die Verallgemeinerung ausreichen.
Vielen Dank schonmal im voraus
MfG
C. Schmidt |
Nobody
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 15:51: |
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Bin mal kurz drübergeflogen. Bis darauf, dass du manchmal *^2 anstatt *y^2 (bzw. x^2) geschrieben hast, scheint es zu stimmen !
Also, im reellen hast du ja die Dreiecksungleichung:
|a+b|<= |a|+|b|
Dann gilt für
|(a+b)+c|<=|a+b|+|c|<=|a|+|b|+|c|
|(a+b+c)+d|
<=|a+b+c|+|d|<=|a+b|+|c|+|d|<|a|+|b|+|c|+|d|
Für n Summanden machst du das immer so fort.
Um´einen "schönen" Beweis zu haben, musst du das mit vollständiger Induktion zeigen !
Im komplexen geht das vollkommen analog !
Grüsse
Nobody |
Christian
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 16:38: |
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Vielen Dank für die Antwort.
Aber wie zeigt man das mit vollständiger Induktion??
MfG
C. Schmidt |
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