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Beitrag |
    
Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 15:54: | 
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Hallo,
konvergiert das Newton-Verfahren nur bei einem bestimmten Startwert, der in der Nähe der Nullstellen ist?
Schönen Dank,
Stefan |
Matthias Häfele (amazing_maze)
Neues Mitglied
Benutzername: amazing_maze
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. März, 2003 - 11:38: |
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Nein, das Newton-Verfahren konvergiert durchaus auch, wenn der Startwert nicht in der Nähe der Nullstelle liegt. Das hängt in großem Maße von der Art der Funktion ab. Im allgemeinen gilt aber: Je näher der Startwert an der Nullstelle liegt, desto besser ist die lineare Approximation und umso besser funktioniert das Newton-Verfahren. Allerdings gibt es durchaus Funktionen bei denen das Newton-Verfahren trotz eines sehr nah an der Nullstelle gelegenen Startwerts versagt.... |
Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. März, 2003 - 17:07: |
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Hallo Matthias,
vielen Dank für deine Antwort.
Schönen tag noch,
Stefan |
Cooksen (cooksen)
Mitglied
Benutzername: cooksen
Nummer des Beitrags: 49
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 10:47: |
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Hallo Stefan!
Die Umschreibung "wenn der Startwert in der Nähe der Nullstelle liegt" lässt sich noch genauer bestimmen:
Es sei f zwei Mal differenzierbar,
[a,b] ein Intervall, dass die gesuchte Nullstelle enthält.
Wenn für alle x aus [a,b] gilt
|f(x)*f''(x)| < (f'(x))²,
dann konvergiert das Newton-Verfahren für jeden Startwert aus [a,b].
Zusatz:
Wenn für die gesuchte Nullstelle x0 gilt, dass f'(x0) <> 0 ist, dann findet man auch stets ein solches Intervall [a,b].
Gruß Cooksen
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Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 12:21: |
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Hallo Cooksen,
vielen Dank.
Eine (wahrscheinlich) primitive Frage noch:
Gibt es eine Funktion die ein x hat, für welches das Newton - Verfahren nicht konvergiert?
Schöne Grüße
Stefan
(Beitrag nachträglich am 02., März. 2003 von hansibal editiert) |
Cooksen (cooksen)
Mitglied
Benutzername: cooksen
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. März, 2003 - 22:34: |
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Hallo Stefan!
Als Beispiel fällt mir spontan ein:
f(x) = 3.Wurzel(x).
Für keinen Startwert konvergiert das Verfahren gegen die Nullstelle x0 = 0. Natürlich ist f an dieser Stelle auch nicht differenzierbar.
2. Beispiel:
f ist beliebig oft diff'bar, hat eine einzige Nullstelle x0 = 0 und dort eine Wendestelle.
Für Startwerte größer 6 konvergiert das Newton-Verfahren nicht.
3. Beispiel
f(x) = x^5*cos(1/x) für x<>0 und f(0) = 0.
f ist zwei Mal differenzierbar - auch bei 0. Aber es gibt natürlich keinen Startwert für den das Newtonverfahren gegen 0 konvergiert, weil f in jeder Umgebung von Null unendlich viele Nullstellen hat.
Vielleicht fallen jemand anderem bessere Beispiele ein.
Gruß Cooksen |
