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Beitrag |
    
Nadine (babsi_21)
Junior Mitglied
Benutzername: babsi_21
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 10:45: | 
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Habe da so meine Probleme bei der vollständigen Induktion!!
n
E q^i= q^0 + q^1 + q^2..+ q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)
i=0
wobei E für Summenzeichen steht!
Würd mich freuen wenn mir das jemand erklähren könnte, würd mich auch über den Lösungsweg sehr freuen!
Brauche das für meine Klausur!
Danke euch im vorraus!!
*bussy* Nadine |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 405
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 10:59: |
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n = 0:
q^0 = (1-q^1)/(1-q) = 1 und des stimmt
n -> n+1:
SUM[i=0,n] + q^(n+1) = SUM[i=0,n+1]
(1-q^(n+1))/(1-q) + q^(n+1) =
(1-q^(n+1) + (1-q)q^(n+1))/(1-q) =
(1-q^(n+1) + 1*q^(n+1) - q*q^(n+1))/(1-q) =
(1-q^(n+1) + q^(n+1) - q^(n+2))/(1-q) =
(1 - q^(n+2))/(1-q) <-- das ist genau SUM[i=0,n+1]
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Nadine (babsi_21)
Junior Mitglied
Benutzername: babsi_21
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 14:43: |
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Danke dir erstmal für die schnelle Antwort, jedoch versteh ich den Weg nicht wirklich! Den Anfang weiß ich, nur das wir immer von n=1 augegangen sind und dann weiter? |
Yves (mathstudent)
Neues Mitglied
Benutzername: mathstudent
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. März, 2003 - 16:38: |
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Also ich versuche auch einfach mal zu helfen. Es ist zwar schwer mit dem Summenzeichen zu hantieren aber mal schaun:
Also zunächst geht man bei der vollständigen Induktion nicht immer grundsätzlich vom Induktionsanfang n=1 aus, so wie du das hier meinst ;-). Es kommt dabei immer auf die Aufgabe an und man beginnt bei dem kleinsten Glied. Da die Summe von 0 bis n läuft also q^0+...+q^n fängt man natürlich auch mit n=0 an weil dies ja das kleinste Element ist. Die Summe von i=0 bis n=0 ist einfach q^0. Und eine beliebe reelle Zahl q hoch 0 ist ja bekanntlich nach Definition (für x^0) immer gleich 1.
Also wir beginnen:
1) Induktionsanfang:
Man muss überprüfen ob für das kleinste Element die Gleichung stimmt. Wir setzen als n=0 und erhalten wie oben gesehen auf der linken Seite als Ergebnis q^0=1.
Nun betrachten wir die rechte Seite: Wir setzen auch da für n=0 und erhalten: (1-q)/(1-q), was natürlich auch 1 ergibt. Somit erhält man für n=0 die Gleichung 1=1. Wir machen also einen Haken dahinter und wissen, dass die Gleichung für das kleinste Element gilt.
Jetzt geht es weiter mit der Induktionsbehauptung.
2) Induktionsbehauptung: Dabei geht man davon aus, dass die Gleichung die man eigentlich erst beweisen soll stimmt. !Das macht man immer so bei der Induktionstechnik.! Man hat also,das zu beweisende als Grundlage und man nimmt an dass:
n
E q^i=1-q^(n+1))/(1-q) für ein beliebiges n rich
i=0 -tig ist.
Dieses vorgehen muss man sich einfach merken. Das ist das Grundlegende bei der Induktionstechnik und läuft immer nach gleichem Schema ab.
Als nächstes folgt der Induktionsschritt:
3) Induktionsschritt: n -> n+1
Dies bedeutet. Gilt die Gleichung für ein beliebiges n wie in 2) angenommen, so muss sie, damit 2) richtig ist auch für n+1 gelten.
Das machen wir uns an einem ganz einfachen beispiel klar. Wir haben bereits gezeigt, dass die Gleichung für n=0 gilt (im Induktionsanfang). Wir behaupten also mit der Induktionsbehauptung: die Gleichung ist richtig für n=0. Wir zeigen jetzt, dass wenn die gleichung für n=0 richtig ist sie auch für n+1 also (n=0) für 1 richtig ist. Haben wir dies gezeigt können wir behaupten: die gleichung stimmt für n=1 und zeigen, dass sie auch für n=2 gilt. Dann wissen wir dass sie für n=2 gilt und zeigen, dass sie für n=3 gilt usw, so dass letztendlich alle n's erfasst erfasst werden. Da wir aber von einem beliebigen n ausgehen, müssen wir das ganze verfahren nicht für alle natürlichen Zahlen machen, sondern machen es nur für ein beliebiges n und zeigen: wenn es wie wir behaupten in 2) für n richtig ist, so ist es auch für n+1 richtig. Und das wollen wir jetzt machen im 4. und letzten schritt, dem eigentlichen Induktionsbeweis.
4) Induktionsbeweis:
Wir ersetzen alle n in der zu beweisenden Gleichung durch n+1, weil dies durch den Induktionsschritt gefordert wird (n->n+1).
Und erhalten somit die gleichung die wir beweisen müssen, also:
SUM[i=0,n+1]q^i = (1-q^((n+1)+1))/(1-q)
also ausgerechnet
(*) SUM[i=0,n+1]q^i = (1-q^((n+2))/(1-q)
Das muss man am Ende durch Umformungen erhalten.
Zur Hilfe steht uns dabei nur die Induktionsbehaupttung nämlich, dass gilt:
geg.:
n
E q^i= q^0 + q^1 + q^2..+ q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)
i=0
------------------
So und jetzt fangen wir an.
Wir wollen (*) zeigen und schreiben erst mal die linke Seite hin:
(*) SUM[i=0,n+1]q^i
Wir müssen es aber so umformen, dass wir irgendwas mit der Induktionsbehauptung anfangen können.
SUM[i=0,n+1]q^i ist ja nix anderes als = q^0+q^1+...+q^n+q^(n+1)
Das kann man aber in zwei Teile spalten ohne etwas zu ändern, nämlich indem wir nur bis n summieren, das unter einem Summenzeichen zusammenfassen und das was fehlt, gesondert mit einem plus versehen hintendran hängen.
Also:
q^0+q^1+...+q^n+q^(n+1)
= Sum[i=0;n]q^i + q^(n+1)
Wir haben jetzt nix geändert, sondern nur die Gleichung mit neuem "Outfit" aufgeschrieben.
Und siehe da wir wissen ja etwas über
Sum[i=0;n]q^i, denn dies ist die linke Seite der Induktionsbehauptung, und da wir diese ja gegeben haben, können wir es auch ganz einfach durch 1-q^(n+1))/(1-q) [da diese beiden Elemente nach behauptung ja gleich sind]ersetzen.
Ersetzt man also die beiden so erhält man:
(1-q^(n+1))/(1-q) + q^(n+1)
Und ab hier ist es schon gar nicht mehr schwer. Wir bringen q^(n+1) auf den gleichen Nenner wie (1-q^(n+1))/(1-q) indem wir q^(n+1) mit ((1-q)/(1-q)) multiplizieren, auch erweitern genannt.
Wir können nun beide Therme addieren und erhalten:
(1-q^(n+1)+q^(n+1)*(1-q))/(1-q)
Wenn wir das jetzt noch im Zähler ausmultiplizieren und beachten dass sich
-q^(n+1) und +q^(n+1) gerade aufheben erhalten wir:
(1-q^((n+2))/(1-q).
Und das ist genau das, was wir zeigen sollten.
Damit sind wir fertig und der Erweis ist erbracht.
Das Induktionsprinzipt läuft immer nach obigem Schema 1)-4). Man muss nur beachten, was das kleinste Element ist, mit dem man den Induktionsanfang startet und wie man 4) umformt, damit man die Induktionsbehauptung nutzen kann.
Aber ansonsten ist es immer das gleiche Prinzip und eigentlich, gar nicht so schwer und zudem eines der effektivsten Beweismethoden, die die Mathematik zu bieten hat.
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Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Liebe Grüße und viel Glück für die Klausur
Yves |
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