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Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Februar, 2003 - 16:38: | 
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Hallo Leute,
gegeben sei ein n-dimensionaler Würfel.
Dieser umschreibt eine n-dimensionale Kugel.
Wieviele Prozent des Würfelvolumens liegen nicht innerhalb des kreises?
Vielen dank für eure Mühe,
Stefan
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Kirk (kirk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 193
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 13:05: |
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Hi Stefan,
mit dem einfachsten Fall beginnen: n=2
Dann n=3. Dann ergeben sich für mich 2 verschiedene Prozentsätze, was zunächst etwas irritierend ist, denn die Aufgabenstellung legt nahe, dass sich für jedes n derselbe Prozentsatz ergibt.
Auf der anderen Seite, an welcher Schule wird ein Volumen- bzw. Maßbegriff für den n-dimensionalen Raum eingeführt?
Woher hast du denn die Aufgabe?
Grüße,
Kirk
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Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 15:40: |
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Hallo Kirk,
ich finde es gar nicht verwirrend, das verschiedene Prozentsätze herauskommen. Ich vermute, dass der Prozentsatz gegen 100 konvergiert, aber ist nur eine Vermutung.
Die Frage hab ich mir selbst ausgedacht.
Schöne Grüße,
Stefan
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Kirk (kirk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 194
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 19:33: |
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Ach so. Hab ich falsch interpretiert. Ich dacht, es wäre ein Schulbuchaufgabe oder was ähnliches.
100 % erschien mir zunächst etwas hoch, aber je mehr ich drüber nachdenke, desto mehr halte ich das für möglich.
Interessantes Problem, vielleicht fällt mir noch etwas ein.
Grüße,
Kirk
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Kirk (kirk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 195
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Februar, 2003 - 20:03: |
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Hallo Stefan,
habe ein wenig rumgetüftelt und versucht, sowohl das Volumen des freien Raumes als auch das der Kugel (für eine mögliche Widerlegung des Satzes) nach unten abzuschätzen. Habe dazu geeignete Würfel reingelegt. Ging auch ganz gut, aber dann konvergierten die Folgen nicht gegen 1 oder was anderes, sondern gegen 0.
Habe damit gezeigt, dass das Volumen nicht kleiner als 0 ist, was nicht gerade eine neue Erkenntnis darstellt  . Schade, vielleicht hat ja jemand anderes eine bessere Idee.
Grüße,
Kirk
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Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Februar, 2003 - 18:25: |
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Hallo Kirk,
ich bin richtig gerührt, dass meine Aufgabe soviel Beachtung geschenkt wird. Ich nehme nicht an, dass die Fragestellung neu ist. Die Frage nach dem Volumen einer vierdimensionalen Kugel wird sich alsbald irgendjemand stellen. Bitte beachte, dass ich erst 14 bin und noch gar nichts von Beweisen verstehe, die kommen leider erst in zwei Jahren in der Schule. Daher wirst du mir sicher auch solche blöde Idee verzeihen:
Kreis: 1*r^2*pi
Kugel: (4/3)*r^3*pi
Hyperkugel: Ich nehme an der Sprung von 1 auf 4/3(1,33333..) íst eine Art gleichbleibender Faktor. Dan wäre eine Hyperkugel:
(4/3)*(4/3) = 16/9 also
16/9*r^4*pi.
Ich würde das ganze gerne prüfen hab aber gerade keine Hyperkugel herumliegen.
Also dann,
Stefan
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Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Februar, 2003 - 18:31: |
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Hallo Kirk,
ich hab gerade eine Formel im Internet gefunden, werde dieser aber noch nicht veröffentlichen.
Damit du noch die Gelegenheit hast ein bisschen zu tüfteln.
Schöne Grüße,
Stefan |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 436
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Februar, 2003 - 19:45: |
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Hi,
eine interesante Frage.
Ich habe auch eine Formel für n-dimensionale Kugeln gefunden. Auf Wunsch kann ich sie hier publizieren.
mfg |
Kirk (kirk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 198
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Februar, 2003 - 21:02: |
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Hallo Stefan,
deine Verallgemeinerung dürfte schon etwas gewagt sein, aber in jugendlichem Überschwang darf man das schon mal  .
Ansonsten müsst ihr mich nicht auf die Folter spannen und dürft eure Formel ruhig posten.
Bin gespannt.
Kirk
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 438
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Februar, 2003 - 22:10: |
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Also ich bin mal so frei und poste meine Formel, sie stammt übrigens aus dem Bronstein, das ist wirklich eine wahre Fundgrube...
Volumen n-dimensionaler Kugeln:
Vn=(pn/2*rn)/(G((n/2)+1))
wobei G(x) die Gammafunktion beschreibt.
Daraus erhält man folgende Formeln für m:
V2m=(pm*r2m)/(m!)
V2m+1=2*(2p)m*r2m+1/(1*3*5*...(2m+1))
diese Formel folgen ja wie man leicht sieht aus der oberen. Diese Formeln stammen von Jacobi. Ich hoffe sie helfen euch weiter.
mfg |
Kirk (kirk)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kirk
Nummer des Beitrags: 199
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. März, 2003 - 09:54: |
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Danke Ferdi,
damit hat sich also Stefans Vermutung bestätigt. Kompliment. Wie viele Schüler wagen sich schon ins mehrdimensionale? Und dann auch noch erfolgreich. Nicht schlecht ...
Grüße,
Kirk
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Stefan (hansibal)
Mitglied
Benutzername: hansibal
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. März, 2003 - 17:13: |
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Hallo Kirk und Ferdi,
vielen Dank für die Blumen. War nur Glück!
Trotzdem bin ich froh, dass ich die Antwort habe.
Schönen Dank,
Stefan |
