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Nina (pupil)
Neues Mitglied
Benutzername: pupil
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Februar, 2003 - 09:35: | 
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Bitte helft mir bei folgenden Aufgaben:
Funktion: f(x)=(1+lnx)/(1-lnx)
1)Berechne f'(x) sowie f''(x).[f'(x) hab ich schon: =2/(x(1-lnx)), aber bei f''(x) komm ich nicht weiter.] Untersuche das Verhalten von f'(x) am Rande des Definitonsbereichs und gib das Monotonieverhalten von f an.
2)Berechne die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von f.
3)Betrachte die Funktion g(x)=(1-lnx)/(1+lnx); x E ]0;e[ .Zeige, dass g umkehrbar ist und bestimme für die Umkehrfunktion g^-1 den zugehörigen Funktionsterm.
Vielen Dank im vorraus! |
Matthias Häfele (amazing_maze)
Neues Mitglied
Benutzername: amazing_maze
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Februar, 2003 - 16:10: |
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1) Ableitungsregel für Quotienten:
(h(x)/g(x))'=(h'(x)*g(x)-h(x)*g'(x))/(g(x))²
Also hier:
f'(x)=[(1/x)*(1-ln(x))-(1+ln(x))*(-1/x)]/(1-ln(x)) ²
=(1/x)*[1-ln(x)+1+ln(x)]/(1-ln(x))²=
=(1/x)*2/(1-ln(x))²=
=2/(x*(1-ln(x))²)
Das leiten wir dann nochmal ab (Quotientenregel anwenden, dann beim Ableiten des Nenners Produkt- und Kettenregel):
f''(x)=-2*((1-ln(x))²+(x*2*(1-ln(x))*(1/x)))/x²*(1 -ln(x))^4
=(4-2*(1-ln(x)))/x²*(1-ln(x))^3=
=(2+2*ln(x))/x²*(1-ln(x))^3=
=2*(1+ln(x))/x²*(1-ln(x))^3
Zum Verhalten von f'(x):
Der Definitionsbereich lautet:]0;OO[{e}
Also untersuchen wir f'(x)= 2/(x*(1-ln(x))²)
für x->0 x>0; x->e, x<e, x->e x>e und x->OO:
x->0 (x>0): der Zähler ist konstant 2, also genügt es selbstverständlich den Nenner zu betrachten.
für x-> 0 läuft x gegen 0 und ln(x) gegen -OO
Also schreiben wir den Nenner um:
(1/x)/(1-ln(x))²
Anwenfung von L'Hospital ergibt:
lim f'(x)= lim 1/2x =+OO
x->0+ x->0+
für x-> e (egal ob x>e oder x<e) läuft x gegen e und (1-ln(x)) gegen 0. Damit gilt wieder
lim f'(x)=+OO
x->e
für x-> +OO wird der Nenner unendlich groß, da sowohl x, als auch ln(x) (und damit (1-ln(x))²) gegen +OO laufen.
Damit gilt:
lim f'(x)=0
x->+OO
Des weiteren gilt :
f'(x)>0 Dies ist ebenfalls leicht einzusehen.
Uafgrund des Vorkommens von ln(x) ist der Definitionsbereich auf x>0 eingeschränkt.
Damit ist x*(1-ln(x))² stets positiv.
Folglich ist f monoton steigend.
2) Wendepunkte: Nullstellen der 2. Ableitung
2*(1+ln(x))=0 <=> ln(x)=-1 <=> x=1/e
Eine Betrachtung des Nenners um diesen Wert zeigt, dass sich in der Tat das Krümmungsverhalten hier ändert (Zähler wechselt das Vorzeichen, der Nenner nicht)
Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt y-Koordinate des WEP:
(1+ln(1/e))/(1-ln(1/e))=0/2=0
WEP P(1/e|0)
3)Umkehrbarkeit:
g^-1 heißt Umkehrfunktion zur Funktion f und f umkehrbar, wenn die Umkehrrelation g^-1 eine Funktion ist.
g(x)=(1-ln(x))/(1+ln(x))
mit der a-b-Methode (Substituieren y=a, x=b, auflösen nach b, Rücksubstitution a=x, b=y):
a=(1-ln(b))/(1+ln(b)) <=>
a*(1+ln(b))=1-ln(b)
a*ln(b)+ln(b)=1-a
ln(b)*(a+1)=1-a
ln(b)=(1-a)/(1+a)
b=e^((1-a)/(1+a))
y=e^((1-x)/(1+x))
g^-1(x)=e^((1-x)/(1+x))
Dies ist eine Funktion, damit ist g(x) umkehrbar. |
Nina (pupil)
Neues Mitglied
Benutzername: pupil
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Februar, 2003 - 18:28: |
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Danke schön!!! |
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