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Beitrag |
    
Pia (Küstenfee)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 20:15: | 
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Stefan hat mir mit dem Ansatz weitergeholfen...ich habe jetzt gerechnet (mein Kopf raucht schon) und kriege komische Werte raus....vielleicht kann mir jemand helfen:
ich muss das abgeben...und verzweifle langsam aber sicher....
größtmöglicher Flächeninhalt soll errechnet werden (funktion steht unter Betreff Funktion g(x)....
ich bekomme heraus:
0= -x³+4x²-2x+8
x1= 4
x2= SQR(2)
Seite a beträgt ca. 6,56 LE
Seite b beträgt ca. 4,66 LE
und der Flächeninhalt ca. 30,66 FE
wenn das nicht stimmt brauche ich mal dringend den Weg....
Bitte Bitte
Lieben Gruß
Küstenfee |
Biene
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 20:40: |
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Hallo Pia,
Könntest Du auch die Aufgabenstellung hier angeben? |
Noname
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 22:20: |
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Der Graph der Funktion g(x)=
x
--------
Ö(x²+2)
die x-Achse und die Gerade x = 8 begrenzen eine Fläche vollständig.
Dieser Fläche seien Rechtecke so einbeschrieben, dass eine Seite auf der x-Achse und eine weitere Seite auf der Geraden x = 8 liegt.
Es existiert ein solches Rechteck mit maximalen Flächeninhalt.
Ermitteln sie diesen Flächeninhalt und die Maße der Rechtecksseiten.
Der linke obere Eckpunkt des Rechtecks, der auf dem Graphen von g(x) liegt, habe Koordinaten (x;y).
(der linke untere hat (x;0), der rechte untere (8;0) und der rechte obere (8;y))
Der Flächeninhalt f des Rechteckes:
Breite * Höhe, also
f(x) = (8-x)*y
y =g(x)= x /Ö(x²+2)
f(x) = (8-x)* x /Ö(x²+2)
das Maximum von f(x) ist gesucht, also f'(x) = (2-x)*(x^2+2*x+8)/(x^2+2)^(3/2) wird gleich Null gesetzt:
2-x = 0 oder x^2+2*x+8 = 0
die rechte Gleichung hat keine reelle Lösung, also kann nur bei x=2 ein Maximum liegen.
zweite Ableitung:
f"(x) = 2*(x^2-4-24*x)/(x^2+2)^(5/2)
f"(2) = 2*(2²-4-48)/(4+2)^(5/2) = 2*(-48)/.... < 0 => f(2) ist Maximalwert:
f(2) = (8-2)* 2 /Ö(2²+2)
f(2) = 12 / Ö(6) = 2Ö6
Breite des Rechtecks war: (8-x) = 6
Höhe war: g(2) = 2 /Ö(2²+2) = 2/Ö6 = Ö(2/3)
oder in Näherungswerten:
Höhe: 0.8165, Flächeninhalt: 4.899
zur Probe:
berechne Flächen der Rechtecke, die ein wenig neben dem gesuchten liegen:
Links) x=1.99 => Breite = 8-1.99, Höhe=g(1.99)=0.8151289 => Fläche = 4.898925
Rechts) x=2.01 => Breite = 8-2.01, Höhe=g(2.01) = 0.81785 => A=4.898925
diese A sind beide kleiner als Originalwert A=f(2)=2Ö6
diese Probe lässt sich mit Werten machen, die beliebig nahe an 2 liegen:
x=2.0000...01
x=1.9999999... |
Stefan
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 22:39: |
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Hi
also hier nochmal die Aufgabenstellung:
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Gegeben ist die Funktion g durch ihre Gleichung
y=g(x)= x / (SQR(x²+2))
x ist Element aus R
Der Graph der Funktion g, die x-Achse und die Gerade x = 8 begrenzen eine Fläche vollständig. Dieser Fläche seien Rechtecke so einbeschrieben, dass eine Seite auf der x-Achse und eine weitere Seite auf der Geraden x = 8 liegt.
Es existiert ein solches Rechteck mit maximalen Flächeninhalt.
Ermitteln sie diesen Flächeninhalt und die Maße der Rechtecksseiten.
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wenn jetzt mein Ansatz stimmt: f(x)=(8-x)*(x / (SQR(x²+2))) = (8x-x^2)/ Ö(x^2+2)
dieser abgeleitet:
ergibt f'(x)= ((8-2x)*Ö(x^2+2)-((8x-x^2)*2x)/(2*Ö(x^2+2))
/ (Ö(x^2+2))^2 = (-x^3-4x+16)/(Ö(x^2+2))^3
=> -x^3-4x+16=0 => x=2
=> a= 8-2=6 und b=g(2)=2/Ö6=0,82
=> Flächeninhalt ist ungefähr 4,9
vorausgesetzt der Ansatz stimmt und ich hab mich nicht verechnet.
Bei deinem Ergebnis vermute ich mal, daß du bei der Quotientenregel vergessen hast im Zähler den Nenner abgeleitet mal den Zähler abzuziehen
Stefan |
Stefan
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 22:44: |
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Ok ich war einfach zu doof, um vorher auf aktualisieren zu klicken.
Aber da das Ergebnis übereinstimmt, scheint es auch richtig zu sein
Stefan |
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