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Katharina (katha2112)
Neues Mitglied
Benutzername: katha2112
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 16:35: | 
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Hi!
Hab mal wieder ein Problem. Wir haben wieder was neues auf dem Tisch geschmettert bekommen, was natürlich alle vergessen haben( dazu muss ich zur Verteidigung sagen, dass unser Kurs die schlechteste Lehrerin, die jetzt wegen eines Nervenzusammenbruchs beurlaubt ist) .
Also, er hat uns diese Funktionen an die Tafel geschrieben und gesagt, dass wir das mit der Kurvendiskussion lösen müssen. Also, Hoch und Tiefpunkt und so was.
Habe schon einige aus dem Kurs angerufen, die mir aber auch nicht sagen konnten, wie es nun mal geht (HILFE, PISA hat recht..).
Ihr seid meine letzte Hoffnung. Hoffe, jemand sitzt Sonntags am PC und hat Lust  mir zu helfen.
Also.
1. f(x)= e hoch x - x+1
2. f(x)= 4e hoch x - e hoch2x
Lieben Dank... im Voraus.
Katha |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 932
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 16:54: |
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Hi Katharina
Ich mach mal die erste Aufgabe.
f(x)=ex-x+1 [Ich hoffe mal das soll so heißen]
Erstmal muss man sagen, dass man die Nullstellen nur numerisch berechnen kann.
Also gehen wir weiter und bilden die Ableitungen:
f'(x)=ex-1
f''(x)=ex
f'''(x)=ex
Jetzt suchen wir die Extrema, d.h. die erste Ableitung muss 0 werden.
0=ex-1
<=> 1=ex
<=> x=0
Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt:
f''(0)=1>0
Also ist ein Tiefpunkt bei (0|2).
Wendepunkte existieren keine, weil die zweite Ableitung nie Null wird.
Sag einfach mal,was du noch alles zu deiner Funktion wissen willst.
Dann zur 2.
f(x)=4ex-e2x
Nullstellen:
e2x=4ex
<=> ex=4
<=> x=ln(4)
An der Stelle ln(4) befindet sich also eine Nullstelle.
Ableitungen:
f'(x)=4ex-2e2x
f''(x)=4ex-4e2x
f'''(x)=4ex-8e2x
Erste Ableitung gleich 0:
0=4ex-2e2x
<=> e2x=2ex
<=> ex=2
<=> x=ln(2)
Einsetzen in zweit Ableitung:
f''(ln(2))=4eln(2)-4e2ln(2)=-8<0
Damit liegt ein Hochpunkt bei
(ln(2)|4)
Wendepunkte:
Zweite Ableitung =0:
0=4ex-4e2x
<=> e2x=ex
<=> x=0
Einsetzen in die dritte Ableitung:
f'''(0)=-4
Also befindet sich ein Wendepunkt bei (0|3)
Falls du noch Fragen hast, meld dich nochmal.
MfG
C. Schmidt |
Katharina (katha2112)
Neues Mitglied
Benutzername: katha2112
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 20:46: |
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HI Christian!
Bei Aufgabe 2: Ich verstehe nicht, wenn die dritte Ableitung gleich -4 ist, warum liegt dann der Wendepunkt bei (0/3)?
Und bei der Berechnung des Hochpunktes. Da kommt am Ende -8 < 0, aber ich verstehe nicht, warum der Hochpunkt dann bei (ln(2)/4) liegt, die vier irritiert mich...
Genau wie bei der ersten Aufgabe 1:
Da suchst du das Extrema setzt es dann in die Zweite Ableitung, und da steht dann wieder 1>0, aber der Tiefpunkt liegt bei (0/2)
Aber dickes fettes MERCI
Katha |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 938
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Februar, 2003 - 21:15: |
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Hi Katharina
Ich versuche das mal zu erklären, ist vom Prinzip her bei deinen Frage alles das gleiche.
Nehmen wir mal die Frage aus Aufgabe 1.
Wenn du Hoch- oder Tiefpunkte finden willst, musst du die erste Ableitung gleich 0 setzen. Dann kriegst du den x-Wert raus, an welchen Stellen sich überhaupt ein Extrempunkt befinden kann. Die Bedingung ist aber noch nicht ausreichend. Gleichzeitig muss nämlich noch die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 sein. Ist sie größer als 0, so liegt ein Tiefpunkt vor, ist sie kleiner als 0 ein Hochpunkt.
In deiner Aufgabe war die erste Ableitung bei x=0 gleich 0. Wenn also ein Extrempunkt existieren sollte, ist dieser bei x=0. Aber ads muss jetzt mit der zweiten Ableitung überprüft werden. Wenn wir dann in der zweiten Ableitung 0 einsetzen, stellen wir fest, dass f''(0)=1 ist. Der Wert ist größer als 0, also ist bei x=0 ein Tiefpunkt. Um jetzt den passenden Funktionswert zu erhalten, setzen wir 0 in die Ausgangsfunktion, d.h. f(x) ein. Damit ergibt sich f(0)=2 und wir haben den Punkt (0|2) als Tiefpunkt gefunden.
Gleiches gilt auch bei Aufgabe 2 bei der Berechnung des Hochpunktes.
Und beim Wendepunkt ist es im Prinzip auch nichts anderes. Hier muss die zweite Ableitung 0 sein und die dritte ungleich 0. Dann hast du den x-Wert deines Wendepunktes und den setzt du wieder in die Ausgangsfunktion ein um den y-Wert zu erhalten.
MfG
C. Schmidt |
Adrian (adrianv)
Neues Mitglied
Benutzername: adrianv
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. März, 2003 - 12:01: |
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Evtl noch ein Hinweis zur ersten Funktion bzgl Nullstellen, wenn das hilft...
Durch Umformung erhält man e^x=x-1
Eine Eigenschaft von e^x ist, dass sie sich mit y=x+1 genau einmal schneidet. y=x-1 ist y=x+1, nur um 2 Einheiten in x-Richtung verschoben (kann man sich graphisch veranschaulichen). Gibt also keine Nullstellen |
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