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Beitrag |
    
lisette (lisette)
Neues Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Februar, 2003 - 08:13: | 
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Hallo,
Ich habe davon gelesen, dass der Satz von Vieta
nicht nur für quadratische Gleichungen gilt, sondern auch für Gleichungen höheren Grades, indem so viele Vietasche Formeln existieren, wie der Grad n der Gleichung angibt.
Könnte jemand diese Formeln für n =3 und n = 4,
eventuell auch für n = 5 angeben?
Wie können diese Formeln hergeleitet werden?
Danke für eure Hilfe!
lisette
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1983
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Februar, 2003 - 10:32: |
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Hi lisette,
Es freut mich, dass der Satz von Vieta in diesem Forum
auch einmal zu Ehren kommt.
Ich behandle die Fälle n =3, 4 , 5 getrennt.
Es ist dann nicht mehr schwierig, den allgemeinen Fall
entsprechend zu behandeln.
I.
n = 3. Die Gleichung sei
x^3 + a x^2 + b x + c = 0
Die Lösungen seien mit x1, x2, x3 bezeichnet.
Die Formelgruppe lautet:
x1 + x2 + x3 = - a
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b
x1 x2 x3 = - c
Herleitung aus der Faktorzerlegung des Gleichungspolynoms
P3(x) = x^3 + a x^2 + b x + c mit Hilfe der Lösungen x1,x2,x3,
die folgendermassen lautet:
P3(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)
Löst man die Klammern rechts und ordnet man nach Potenzen
von x, so führt der Koeffizientenvergleich uns die 3 Formeln von
Vieta vor Augen.
II
n = 4. Die Gleichung sei
x^4 + a x^3 + b x^2 + cx + d = 0
Die Lösungen seien mit x1,x2, x3, x4 bezeichnet.
Die Formelgruppe lautet:
x1+x2 + x3 + x4= - a
x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = b
x1 x2 x3+x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = - c
x1 x2 x3 x4= d
Herleitung aus der Faktorzerlegung des Gleichungspolynoms
P4(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + cx + d mit Hilfe
der Lösungen x1,x2,x3,x4 , die folgendermassen lautet:
P4(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
Löst man die Klammern rechts und ordnet man nach Potenzen
von x, so führt der Koeffizientenvergleich die 4 Formeln von
Vieta ad oculos.
III
n = 5. Die Gleichung sei
x^5 + a x^4 + b x^3 + cx^2 + dx + f = 0
Die Lösungen seien mit x1,x2, x3, x4, x5 bezeichnet.
Die Formelgruppe lautet:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = - a
x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x1 x5 +
x2 x3 + x2 x4 +x2 x5 +
x3 x4 + x3 x5 +
x4 x5 = b
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x2 x5 +x1 x3 x4 + x1 x3 x5 +
x1 x4 x5 +
x2 x3 x4 + x2 x3 x5 + x2 x4 x5 +
x3 x4 x5 = - c
x1 x2 x3 x4 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x4 x5 +x1 x3 x4 x5
x2 x3 x4 x5 = d
x1 x2 x3 x4 x5 = - f
Herleitung aus der Faktorzerlegung des Gleichungspolynoms
P5(x) = x^5 + a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + f mit Hilfe
der Lösungen x1,x2,x3,x4 ,x5, die folgendermassen lautet:
P5(x) = (x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)
Löst man die Klammern rechts und ordnet man nach Potenzen
von x, so führt der Koeffizientenvergleich uns die 5 Formeln von
Vieta vor Augen.
Jeder Term linkerhand in den Formeln heisst symmetrische Funktion
der Wurzeln x1,x2,…,xn.
Die Indizes sind Kombinationen der n Elemente 1,2..n
zur entsprechenden Klasse.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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