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lisette (lisette)
Neues Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 15:31: | 
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Hi,
wie leite ich die Gleichung für die
Asymptoten einer Hyperbel her?*
Danke für Eure Hilfe
lisette |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1978
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 16:04: |
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Hi Lisette,
Kannst Du Deine Frage noch etwas präzisieren?
Wie lautet die Gleichung der Hyperbel,von der Du die Asymptoten suchst ?
Wer sucht, findet meistens auch.  sollen wir denn suchen ?
MfG
H.R.Moser,megamath |
lisette (lisette)
Neues Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 16:37: |
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Ich bin durchschaut:
Was suche ich eigentlich? 
In meinem schönen Skriptum steht – ich zitiere:
Wir müssen somit kurz darauf zurückkommen, wie man die Steigung m
einer schiefen Asymptote aus der impliziten Gleichung berechnen kann.
Bekanntlich erscheint m als Limes des Quotienten y/x:
m = lim (y/x) für x strebt gegen unendlich!
***************************************
Andrerseits habe ich in einem alten Geometriebuch zu den Asymptoten
der Hyperbel ein Erklärung gefunden, wie man zu der Formel:
y= +- b/a*x
kommt.
Hier wandert der Schnittpunkt der Hyperbel und der Geraden y=kx ins Unendliche
…und mein Verständnis gleich mit!
Wie krieg ich das alles unter einen Hut?
Sehr präzise ist das nun auch nicht, leider.
lisette
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1980
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 17:22: |
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Hi Lisette,
ich hol´ Dich schon zurück, auf den Boden der realen
Mathematik!*
Ich habe nichts dagegen, wenn wir anstatt auf Dein schönes
Scriptum auf Dein altes Geometriebuch zurückgreifen
(die Bezeichnung der Steigung einer Geraden mit k
statt mit m verrät übrigens die Herkunft Deines Buches).
Wir gehen aus von der Mittelpunktsgleichung der Hyperbel,
die da lautet:
b^2 x^2 – a^2 y^2 – a^2 b^2 = 0; setze nun y = k x ein
Du bekommst
b^2 x^2 – a^2 (k^2 x^2) – a^2 b^2 = 0
dividiere beide Seiten mit x^2; es kommt:
b^2 – a^2 k^2 – a^2 b^2 / x^2 = 0
Gehe mit x gegen unendlich; es entsteht, wie erwartet:
b^2 – a^2 k^2 = 0 oder
k^2 = b^2 / a^2
Hoffentlich besteht nun ein wenig Klarheit!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1981
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 18:01: |
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Hi Lisette,
Wenn Du doch lieber mit Deinem schönen Skriptum
argumentieren möchtest, geht das so:
Dividiere sofort die Hyperbelgleichung mit x^2
und schreibe
b^2 – a^2 (y / x) ^ 2 – a^2 b^2 / x^2 = 0
Setze für y/x = m ein.
Deute m als Steigung einer Geraden, die den Nullpunkt
mit dem laufenden Punkt P(x/y) der Hyperbel verbindet;
m ist abhängig von x.
Für x gegen unendlich strebt m gegen einen Grenzwert m*
Gehe jetzt mit x gegen unendlich!
Du bekommst eine Gleichung für m* ;die so lautet:
b^2 – a^2 * m* ^ 2 = 0, daraus
m* ^ 2 = b^2 / a^2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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lisette (lisette)
Neues Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 18:49: |
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Herzlichen Dank, megamath, für die Rückholversuche ins Irdische!
(obwohl es zwischen den Sternen auch recht schön ist!)
Deine Erklärung ist einleuchtend.
Gleich kommt die nächste Verwirrung:
Mein lieber Professor (von dem das schöne Scriptum stammt!)
spricht gerne von unendlich fernen Punkten und
dazu habe ich in einem anderen Buch
(etwas jünger, aber aus derselben Gegend stammend!)
folgendes zu den Kegelschnitten (KS) gefunden:
*************
….. wir betrachten das Verhalten der Kurve im Unendlichen.
Eine Ellipse liegt ganz im „Endlichen“,
eine Hyperbel besitzt genau zwei Punkte im Unendlichen
(die Fernpunkte ihrer Asymptoten),
die Parabel genau einen Punkt im Unendlichen
(den Fernpunkt ihrer Achse).
Da eine Gerade und ein KS im algebraischen Sinn stets zwei Schnittpunkte besitzen (Begründe!),
kann man das Verhalten im Unendlichen wie folgt ausdrücken:
die Ellipse schneidet die „Ferngerade“ nicht reell
(anders gesagt: in einem Paar konjugiert komplexer Punkte),
die Hyperbel in einem Paar reell getrennter Punkte,
und die Parabel in einem reellen Doppelpunkt.
*************
Nun frage ich mich – oder besser Dich:
Die Hyperbel bzw. ihre Asymptoten geht doch nach 4 Richtungen ins Unendliche,
warum hat sie dann nicht 4 unendlich ferne Punkte?
Die Parabel und ihre Achse nach 2 Richtungen……???
Bei der Hyperbel kann ich mir irgendwie vorstellen,
dass sich die Kurve immer mehr der Asymptote nähert,
und sie sozusagen im Unendlichen berührt (oder sagt man schneidet?),
Die Parabel geht in meiner Vorstellung „auseinander“ –
und soll dann ihren unendlich fernen Punkt in der Achse haben???
Und wer ist nun diese Ferngerade?
Oder will ich mir da etwas vorstellen können,
was man sich gar nicht vorstellen kann
und man schlicht und ergreifend nur berechnen kann?
Vielleicht verstehst Du meine Not und kannst mir bei Gelegenheit weiterhelfen,
ich danke Dir sehr dafür,
Du kennst Dich in diesen Gefilden gut aus, wie ich sehe.
Liebe Grüße von lisette
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1982
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 20:39: |
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Hi Lisette,
Du hast Dir eine grosse Mühe gegeben,
Deine Probleme bezüglich der unendlich fernen Elemente
in der Ebene im Zusammenhang mit den Kegelschnitt-Typen
zu schildern.
In Deinem Lehrbuch ist die Situation treffend geschildert.
Begnüge Dich vorläufig mit dem Gesagten und versuche,
es nach Möglichkeit gedanklich zu verarbeiten.
Sollten in der Vorlesung die Kegelschnitte vertieft besprochen
werden, so werden sie sicher auch als zentral - kollineare Bilder
eines Kreises c erscheinen.
Die dort eingeführte Fluchtgerade (Gegenachse) f übernimmt
in eindrücklicher Weise die Rolle der unendlich fernen Geraden.
Das kollineare Bild von f ist nämlich die unendlich ferne Gerade
der Ebene.
Im Fall der Ellipse meidet die Fluchtgerade f den Kreis c.
Im Fall der Parabel ist f eine Tangente von c, Berührungspunkt U.
Im Fall der Hyperbel schneidet f den Kreis in zwei Punkten U1,U2.
Verbindet man das Kollineationszentrum Z mit U im Fall der
Parabel, so ergibt die Gerade ZU die Richtung der Parabelachse an.
Im Fall der Hyperbel erhältst Du mit den Geraden ZU1 und ZU2
die beiden Asymptotenrichtungen.
Die Bilder der Kreistangenten in U1 und U2 sind
die Asymptoten selbst.
Warte ab, bis dieses Kapitel behandelt wird, und es werden sich
Dir neue Welten öffnen.
Rechnerisch lassen sich die unendlich fernen Elemente ins Spiel
bringen, wenn wir die so genannten homogenen Koordinaten einführen.
So hat dann jeder Punkt der Eben drei Koordinaten.
Aber das ist eine andere Geschichte, eine sehr faszinierende.
Merke : Jeder Geraden der Ebene wird genau ein unendlich ferner
Punkt zugeordnet (eine Hyperbelasymptote hat demnach nur
einen unendlich fernen Punkt, nicht deren zwei ).
Ich lade Dich ein, einen Spaziergang auf einer Hyperbel zu machen
und einen geschlossenen Gang auf ihr zu absolvieren.
Du wirst dabei die unendlich ferne Gerade zweimal passieren
und nicht viermal.
Aber das ist wieder eine andere Geschichte.
Viel Erfolg beim Nachdenken !
H.R..Moser,megamath
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lisette (lisette)
Neues Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 21:13: |
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ohhh, danke vielmals für DEINE schöne Vorlesung!
Ich werde darüber schlafen …
lisette
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