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Beitrag |
    
lili (cattleya)
Neues Mitglied
Benutzername: cattleya
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 09:23: | 
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Löse nach x auf (indem du die Gleichung als Produkt gleich 0 setzt):
1) 2 cos (2x) - sin x = 1
2) 2 sin x - cos (2x) = 3
3) sin (2x) + cos (2x) = 1
4) sin (3x) = sin (2x)
Leite ab:
(1: sin x)' =
(4 * sin (2x+3) )' = |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1974
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 11:34: |
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Hi lili,
Da ich noch auswählen kann, entscheide ich mich
für die Aufgabe 4).
Ich wähle zur Lösung eine Methode, bei der man
einzelne Faktoren null setzen kann.
Dies entspricht offenbar den Intentionen des
Aufgabenstellers. Kommen wir ihm entgegen!
Wir bringen die Gleichung auf null und schreiben
sin (3x ) – sin (2x) = 0.
Jetzt verwenden wir die famose Formel
sin a – sin b = 2 cos [½ (a+b)] * sin[½ (a-b)]
mit a = 3x , b = x ; es kommt:
sin (3x) – sin (2x) = 2 cos [ 5/2 x] * sin[ x / 2] = 0
Der erste Faktor null gesetzt ergibt:
5 x/2 = Pi/2 , also x = Pi/5 , oder
5 x/2 = 3Pi/2, also x = 3 Pi/5 oder
5 x/2 = 5Pi/2, also x = 5 Pi/5 oder
5 x/2 = 7Pi/2, also x = 7 Pi/5 oder
5 x/2 = 9Pi/2, also x = 9 Pi/5
Der zweite Faktor null gesetzt ergibt:
x/2 = 0 , daraus x = 0
Das sind alle Lösungen im Intervall
0 < = x < 2 Pi
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 239
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 12:05: |
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Hallo
zum Glück kann ich auch noch auswählen.
Ich mache die Ableitungen:
(1: sin x)'
= [(sin x)-1]'
= (-sin x)-2 * cos x
(4 * sin (2x+3) )'
= 4 * [sin(2x+3)]'
= 4 * cos(2x+3) * 2
= 8cos(2x+3)
MfG Klaus |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1975
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 12:08: |
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Hi lili,
Ich kann immer noch auswählen!
Diesmal kommt die Nummer 3 (!*) an die Reihe:
Jetzt verwenden wir die exotische Formel
sin a + cos a = wurzel(2) * sin (45° + a)
mit a = 2 x; es kommt:
sin (2 x) + cos (2 x) = wurzel(2) * sin (45 ° + 2x)
Da diese Summe 1 sein soll, muss gelten:
sin (45° + 2x ) = 1 / wurzel(2).
Daraus entspringen Lösungen für 2x und schließlich
die gesuchten Lösungen für x allein:
x1 = 0 , x2 = 45°, x3 =180°, x4 = 225°.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 370
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 12:23: |
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Hallo,
wie ich grad sehe hat H.R.Moser die drei schon gelöst, ich will meine Arbeit aber nicht zerstören, da ich auch einen anderen Weg gegangen bin poste ich hier auch noch, ich hoffe das stört niemanden.
Ich benutze hier drei Formeln:
a)(sin(x))^2+(cos(x))^2=1
b) sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)
c) cos(2x)=(cos(x))^2-(sin(x))^2
Nun ersetzen wir in 3) nach den Formeln:
sin (2x) + cos (2x) = 1
2*sin(x)*cos(x)+(cos(x))^2-(sin(x))^2=(cos(x))^2+( sin(x))^2
bringen alles auf eine Seite:
2*sin(x)*cos(x)-2*(sin(x))^2=0
Nun klammern wir den Sinus aus:
2*sin(x)*[cos(x)-sin(x)]=0
Nun müssen wir schauen wann eines dieser Produkte 0 wird:
2*sin(x)=0
sin(x)=0
x=k*p
So der Zweite Faktor:
cos(x)-sin(x)=0
cos(x)=sin(x)
Jetzt dividieren wir durch cos was für x¹(2*k+1)*(p/2) erlaubt ist und erhalten:
1=sin(x)/cos(x)
1=tan(x)
x=p/4+(k*p)
nehmen wir das Intervall [-2p,2p] erhalten wir als Lösungen:
x1=-2*p
x2=-(1,75)*p
x3=-p
x4=-(0,75)*p
x5=0
x6=p/4
x7=p
x8=1,25*p
x9=2*p
mfg
(Beitrag nachträglich am 16., Februar. 2003 von tl198 editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1976
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 12:56: |
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Hi lili,
Es ist high afternoon für die erste Aufgabe:
Wir verwenden die Formel
cos 2x = 2 (cos x) ^ 2 - 1 ; aus der gegebenen Gleichung
entsteht durch braves Umformen eine quadratische
Gleichung für sin x:
4 (sin x) ^ 2 + sin x – 1 = 0
5
Lösungen für sin x:
sin x = 1/8 * [-1 + wurzel(17) ] ~ 0,3904
sin x = 1/8 * [-1 + wurzel(17) ] ~ - 0,6404
Die gesuchten x- Werte sind:
x1 ~ 22,98°, x2 ~ 157,02°
x3 ~ 320,18°, x4 ~219,82°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Steve JK (f2k)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 84
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 14:16: |
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dann mach ich jetzt noch aufgabe 2!
nach der doppelwinkel für den cos(2x) gilt:
2sin(x) - (1 - 2sin²(x)) - 3 = 0
dies kannst du auf eine quadratische form führen:
sin²(x) + sin(x) - 2 = 0
sin(x) 1/2 = -½ ± sqrt(¼ + 2)
sin(x) 1 = -2 (ungültige lösung)
sin(x) 2 = 1 Þ x = p/2 + 2kp
mfg
kippng |
lili (cattleya)
Neues Mitglied
Benutzername: cattleya
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 15:27: |
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Dankeschön! ;) |
lili (cattleya)
Junior Mitglied
Benutzername: cattleya
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Februar, 2003 - 16:56: |
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Allerdings soll man die Gleichungen nach x auflösen, indem man sie als Produkte umformt und die Faktoren gleich Null setzen kann. Umformen soll man die Gleichungen dann mithilfe von Additionstheoremen! (wie tl198 das gemacht hat!) Wäre schön, wenn ihr mir da helfen könntet! Danke!!! |
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