| Autor |
Beitrag |
    
Jennifer
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 09:17: | 
|
Hallo,
Die folgende Aufgabe kann ich nicht lösen.
Kann mir jemand helfen ?
Die Aufgabe lautet so:
x = c t , y = c / t ist eine Parameterdarstellung der gleichseitigen Hyperbel
x * y = c ^ 2 (c ist eine gegebene Konstante).
Man bestimme die Gleichung der Kurvennormalen n im Punkt P1 auf der
Hyperbel, der zum Parameterwert t1 gehört.
Diese Normale schneidet die Hyperbel in einem zweiten Punkt P2.
Man weise nach, dass zu P2 der Parameterwert t2 = – 1 / ( t1) ^ 3
gehört.
Mit bestem Dank zum voraus !
Jennifer |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Januar, 2002 - 11:23: |
|
Hi Jennifer,
Die Ableitung der Funktion y = c ^ 2 / x nach x ist:
y `(x) = - c^2 / x^2, die Steigung m der Hyperbeltangente
im Punkt P1(x1/y1) somit m = - c^2 / x1 ^ 2.
Die Steigung s der Normalen n ist dazu entgegengesetzt
reziprok, also
s = (x1) ^ 2 / c^2.
Die Gleichung von n lautet bei Verwendung der Punktrichtungsform:
y – y1 = s ( x – x1) , also y – y1 =(x1) ^ 2 / c^2* ( x – x1),
setzen wir noch c * t1 für x1 und c / t1 für y1 ein , so erhalten
wir eine Gleichung für n , in welcher der Parameterwert t1 vorkommt.
Vereinfachte Form dieser Gleichung:
t1 ^ 3 * x - t1 * y + c * (1 – t1 ^ 4) = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Nun schneiden wir die Hyperbel mit n ,indem wir y = c / x^2
in die unterstrichene Gleichung einsetzen.
Es entsteht eine quadratische Gleichung für die Abszisse x der
Schnittpunkte ; diese lautet:
t1^3 * x ^2 + c * ( 1 – t1 ^ 4) * x – c^2 * t1 = 0
Die eine Lösung kennen wir schon, nämlich x = x1 = c* t1; die andere ,
x2 , entnehmen wir einer Vieta–Formel.
Es gilt x1 * x2 = – c^2 * t1 ; ersetzen wir darin x1 durch c* t1 ,
x2 durch c* t2, so kommt schliesslich
t2 = - 1 / ( t1) ^ 3 , was zu zeigen war.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
