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Katharina (katha2112)
Neues Mitglied
Benutzername: katha2112
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 15:50: | 
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Hallo! Ich habe da ein Problem, da unsere Lehrer ein neues THema angefangen hat ohne es mit uns zu besprechen. Und er staucht uns immer zusammen, wenn wir was nicht können. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
(1) Zu Beginn des 2000 lebten etwa 6 milliarden Menschen auf der Welt. Nach einer Prognose nimmt die Weltbevölkerung jede Minute um 200 Menschen zu. Nach einer anderen Prognose steigt sie jährlich um 1,4%.
Veranschaulichen und vergleichen Sie die Entwicklung bis zum Jahre 2050 nach diesen Prohnosen.
(2) Ein Anfangskapital von 1000 Euro wird am Ende eines Jahres mit einem Zinssatz von 6% verzinst. Die Zinsen werden jährlich dem Kapital zugeschlagen.
a) Bestimmen Sie für die ersten 10 Jahre die Werte.
b) Nach wie vielen Jahren ist das Kapital auf 1400 Euro angewachsen?
c) Wie hoch wäre das Kapital nach 50 Jahren?
d) Nach welcher Zeit hat sich das Kapital verdoppelt?
Liebe Grüße Katha |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 224
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 16:13: |
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Hallo
Es gilt die Formel:
B(t) = C * ekt
B...Bestand nach der Zeit t
C...Anfangsbestand
k...Wachstumskonstante
t...Zeit t
----------------------
Mit Hilfe dieser Formel lässt sich alles problemlos lösen
---------------------
1)
Nehmen wir erst mal als jährliche Zunahme 1,4 %.
Dann ist k = ln 1,04 ~ 0,03922...
C = 6*109
t wird angegeben in Jahren.
Es gilt im Jahr 2050 (---> t = 50):
B(50) = 6*109 * e50 * ln1,04 ~ 4,26 * 1010
Das sind ungefähr 42,6 Milliarden Menschen!
Wenn eine minütliches Wachstum von 200 Menschen angenommen wird:
50 Jahre haben x Minuten:
x = 50 * 365 * 24 * 60 = 26280000 (wenn die Schaltjahre nicht berücksichtigt werden)
Nach 50 Jahren gibt es also
6 * 109 + 26280000 * 200 = 1,1256 * 1010
Das sind ungefähr 11 Milliarden Menschen!
Vergleichen und Veranschaulichen kannst du ja selber...
MfG Klaus
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Jonathan Lux (jonnek)
Neues Mitglied
Benutzername: jonnek
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 16:25: |
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Hallo,
zumindest die 1. Rechnung die Klaus aufgeführt hat, ist falsch. Wenn die jährliche Zunahme 1,4%
beträgt, ist k = ln 1,014. Damit kommt man natürlich auch zu einem anderen Endergebniss, das da lautet: 12.024.000.900
Außerdem gibt es noch einen einfacheren Weg dies zu berechnen: 6.000.000.000 *1,014^50
Man kommt zu dem selben Ergebniss.
Zu (2)
Hier bleibt dir, liebe Katharina, leider nichts anderes übrig als eine Tabelle für die nächsten 50 Jahre anzulegen, an der du dann alle Ergebnisse ablesen kannst. Dies ist leider so, da es sich um eine rekursive Folge handelt, d.h der nächste Wert ist nur aus dem vorrausgehenden wert zu berechnen
Viel Spaß dabei! |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 225
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 19:25: |
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Hallo
Ok. Ist falsch.
@Jonathan:
Die Aufgabe steht unter E-Funktionen. Darum sollte man wohl auch eine E-Funktion verwenden, oder?!
Deine Rechenweg ist richtig. So rechnet man aber in der 10.Klasse, nicht in der 12./13. Klasse.
Klaus |
Holger (matheholger)
Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 19:27: |
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Hallo ihr,
Zu (2) man kann natürlich auch berechnen, wieviel das kostet.
Nach 1 Jahr hat der Mensch ja seine 1000 Euro und zusätzlich die Zinsen von 6%*1000 Euro
Also K1 = 1000€ + 1000€*0,06
ausgeklammert: K1 = 1000€*(1+0,06) = 1000€*1,06
Nach 2 Jahren kommen zu K1 wieder 6%von K1 dazu also:
K2 = K1 + K1 * 0,06 = K1 * 1,06
K1 einsetzen: K2 = 1000€*1,06*1,06 = 1000€*1,062
Nach 3 Jahren kommt der nächste Faktor 1,06 dazu.
Also
Nach 1 Jahr: K1 = 1000€*1,06
Nach 2 Jahren: K2 = 1000€*1,062
Nach 3 Jahren: K3 = 1000€*1,063
.
.
.
Nach n Jahren: Kn = 1000€*1,06n
Damit kannst du auch die Aufgaben c und d lösen.
c) Nach 50 Jahren: K50 = 1000€*1,0650 =18420,15€
d) Hier ist n gesucht und kn gegeben, nämlich kn = 2*1000€
Setzt du in die Formel
Kn = 1000€*1,06n
ein, dann erhältst du:
2*1000€ = 1000€*1,06n
Kürzen:
2 = 1,06n
Jetzt den Logarithmus (zu beliebiger Basis) auf beiden Seiten anwenden:
log(2) = log(1,06n)
Es gilt : log ab = b * log a
Also: log(2) = n*log(1,06)
n = log2/log1,06
n = 11,89
Also muss er 12 Jahre warten.
Liebe Grüße Holger
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Matthias (metal)
Mitglied
Benutzername: metal
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 19:47: |
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Hey Jonathan,
was erzählst Du da?
Beide Aufgaben sind vom gleichen Typ und mit der gleichen Rechnung zu lösen:
E=K* P^x
E: Endwert
K: Startkapital
P: Prozentwert (bei 1,4 % =1,014, da Zinseszins)
x: Zyklenanzahl (meistens Jahre)
Danach ergibt sich für Aufgabe 1:
6.000.000.000 * 1,014^50 = 12.024.000.900
oder
6.000.000.000 + 200 * 25.632.000 =11.126.400.000
also 6 mill + 200 pro min (50 Jahre haben 50*356*24*60 Min)
Aufgabe 2 funktioniert genau so:
a) für die ersten 10 Jahre musst Du die Werte tatsächlich ausrechnen, da explizit nach ihnen gefragt ist.
b) stell die Gleichung auf:
1400 = 1000 * 1,06^x
<=> 1,4 = 1,06^x
<=> ln(1,4) = ln(1,06^x)
<=> ln(1,4) = x*ln(1,06)
<=> x = ln(1,4) / ln(1,06)
<=> x = 5,77 also nach dem 6. Jahr, da man bis zum Ende des Jahres warten muss.
c) wie 1), nur mit folgenden Werten:
E=1000*1,06^50=18420,15
d)
2000=1000*1,06^x
<=> x = ln(2) / ln(1,06) = 11,89, also 12 Jahre
Alles klar? also nix hier 'ne Mega Tabelle aufstellen.
Is nich bös gemeint, aber Ihr könnt das arme Mädel doch nicht so rechnen lassen.
Dann viel Spaß beim Nachrechnen. Ich hoffe ich konnte Dir helfen
Gruß, Matthias |
Holger (matheholger)
Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 45
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 19:49: |
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@Klaus und Jonathan
Wenn man für Wachstum die Formel
N(t) = N0*1,014t umformt, dann erhält man mit a = eln a
N(t) = N0*eln(1,014^t)
N(t) = N0*et*ln(1,014)
Also muss dasselbe Ergebnis rauskommen.
Liebe Grüße
Holger
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Katharina (katha2112)
Neues Mitglied
Benutzername: katha2112
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Februar, 2003 - 20:16: |
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Hi Jungs! Ihr seid die besten. Thanx;)
Jetzt bin ich wieder im Stoff. Danke noch mal;)
Liebe Grüße Katha |
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