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Tobias Schlottbohm (schlati)
Neues Mitglied
Benutzername: schlati
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 20:36: | 
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Hi,
ich sitz hier schon ne halbe Ewigkeit an der folgenden Aufgabe:
"Gegeben ist ein Halbkreis mit dem Radius r. Ein rechtwinkliges Dreieck liegt so, dass der Halbkreisdurchmesser auf die Hypotenuse des Dreiecks fällt und die Katheten den Halbkreis berühren. Der Flächeninhalt des Dreiecks soll ein Minimum annehmen."
Also, das Dreieck muss irgendwie aussen um den Halbkreis liegen. Leider komme ich nicht auf die Beziehung zwischen den Katheten und dem Radius, hat jemand ne Idee? Oder sogar ne vollständige Lösung?
danke |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 363
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 22:11: |
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Hi,
die gesuchten Katheten des Dreieckes seien a, b. Deren Berührungspunkte mit dem Halbkreis werden jeweils mit dem Mittelpunkt verbunden. Dann entsteht links beispielsweise eine kleineres rechtwinkeliges Dreieck (Katheten r, b-r), welches zu dem großen (Katheten a, b) ähnlich ist! Es gilt die Proportion:
a : b = r : (b - r)
a = r*b/(b-r) .. das ist schon die NB (Nebenbedingung)
Die Fläche des Dreieckes A = a*b/2 soll minimal werden:
A = (r/2)*b²/(b-r); r/2 als konst. pos. Faktor weglassen:
f(b) = b²/(b-r)
f '(b) = (2b(b-r) - b²)/(b-r)² -> 0
b² - 2br = 0
b*(b - 2r) = 0; b <> 0 nur sinnvoll
-> b = 2r -> aus NB: a = 2r; A = 2r²
Kein Zweifel, es ist das halbe dem Kreis umgeschrieben Quadrat!
Wir zeigen noch, dass die Fläche ein Minimum ist:
f ''(b=2r) = (2b-2r)/(b-r)² = 2/(b-r) = 2/r > 0 Min.!
(Da f '(b) = 0 und ein Bruch ist, ist f ''(b) vereinfacht die Ableitung des Zählers durch den unveränderten Nenner)
Gr
mYthos
(Beitrag nachträglich am 05., Februar. 2003 von mythos2002 editiert) |
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