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sylvia (sylvia7)
Neues Mitglied
Benutzername: sylvia7
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 16:10: | 
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Hallo! Kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein?
"In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1/2/3), B(5/0/-1) und D(-1/6/-1) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass es einen Punkt C gibt, für den das Viereck ABCD ein Quadrat ist, und bestimmen Sie die Koordinaten von C. Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Höhe 6; der Fußpunkt der Höhe ist der Mittelpunkt dieses Quadrates. Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Pyramidenspitzen S und S'. (Teilergebnis: S(6/7/1), S'(-2/-1/-3))
b) Gegeben ist die Ebene E: 10x(Index 1)+4x(Index 2)-x(Index 3)-51=0, welche den Punkt B und den Punkt C aus Teilaufgabe a) enthält. Die Ebene E zerschneidet die Pyramide ABCDS aus Teilaufgabe a) in zwei Teilkörper. Zeigen Sie, dass die Schnittfläche ein gleichschenkliges Trapez ist. Berechnen Sie das Volumen des Teilkörpers mit der Spitze S."
Ich weiß, dass es eine sehr lange Aufgabe ist, aber ich bin für jegliche Hilfe dankbar!!
Liebe Grüße!! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1964
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 22:00: |
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Hi sylvia,
wir beginnen mit den Vektoren
(die Vektorpfeile sind weggelassen)
AB = {4;-2;-4} = 2 {2, -1 ; -2} , Betrag 2 * 3 = 6.
AD = {-2 ;4;-4}= 2 {-1, 2 ; -2} , Betrag 2 * 3 = 6.
Diese Vektoren haben dieselbe Länge 6 und stehen
aufeinander senkrecht, da ihr Skalarprodukt null ist,
wie man leicht nachrechnet.
Wir merken:
Ein Quadrat ABCD ist im Entstehen.
Wir addieren die beiden Vektoren und erhalten als
Summenvektor:
s = {2;2;-8} = 2 {1;1;-4}; s hat den Betrag
2*wurzel(18) = 6*Wurzel (2), das ist gerade
die Länge der Quadratdiagonalen.
Wir tragen diesen Vektors an den Ortstsvektor a
von A an und erhalten den Ortsvektor c von C.
Es gilt: c = OA + AC = a + s =
{1;2;3} + {2;2;-8} = {3 ; 4 ; -5}
Somit gilt für die gesuchte Quadratecke:
C(3/4/-5).
°°°°°°°°°
Nun ermitteln wir eine Gleichung der Ebene E des Quadrates
ABCD
Diese Ebene ist etwa bestimmt durch die deri Punkte ABC
Routineaufgabe; Resultat
2x + 2y + z = 9
°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 912
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 22:11: |
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ins Schleudern könnte der Rest mich bringen
a)kopfrechnenderweise daß AB eine Seit (l=6) und BD eine Diagonale (d²=72) sein muß. Damit ist der Diagonalenmittelpunk
M = (B + D)/2, und
C = A + 2*(M - A) = 2*M-A = B+D-A.
Die
Ebene des Quadarats also z.B.: Eq = A + r*(B-A) + s*(D-A)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1965
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 06:41: |
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Hi Friedrich,
Obwohl die winterlichen Strassenverhältnisse ziemlich prekär sind,auch in Stuttgart,
werden wir dafür sorgen,dass Du nicht ins Schleudern kommst!
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1966
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 07:47: |
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Hi sylvia,
Man findet die Gleichung der Ebene ABC zum
Beispiel dadurch, dass man einen Normalenvektor n
dieser Ebene als Vektorprodukt der Vektoren
AB und AD berechnet; Resultat:
AB x AD = {6;6;3} = 3 {2;2;1}
Wir wählen das Tripel 2,2 1 als Koeffizienten von
x , y , z in der Ebenengleichung; die Konstante 9
ergibt sich aus der Bedingung, dass der Punkt A(1/2/3)
auf der Ebene liegt.
Der Mittelpunkt des Quadrates ist zugleich Mittelpunkt
der Diagonalen AC oder BD.
Die Koordinaten von M erscheinen so der Reihe nach
als arithmetische Mittel der entsprechenden Koordinaten
von A,C einerseits oder von B,D andrerseits
Resultat:M(2/3/-1)
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 327
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 12:38: |
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Hi,
ich mach mal d) den Teamwork ist ja heut zu Tage gefragt!
also:
E: 10x+4y-z=51
Man kann leicht nachrechnen, aber es steht ja schon in der Aufgabenstellung, B und C liegen in dieser Ebene!
Die Schnittfläche liegt also in dieser Ebene. Dazu Benötigen wir aber noch zwei Punkte, und zwar den Schnitpunkt der Geraden durch AS und den Schnittpunkt der Geraden durch AD mit der Ebene, wir nennen sie A' und D'.
So, die Punkte kannst du ja sicherlich selberausrechnen, hier nur die Lösungen:
A'(3,5|4,5|2)
D'(2,5|6,5|0)
Nun haben wir vier Punkte in der Ebene liegen. Wir untersuchen nun ob sie ein gleichschenkliges Trapez bilden: die beiden Schenkel müssen gleich lang sein:
Wir müssen prüfen ob der Betrag von BA' gleich dem von CD' ist, berechnen wir die Vektoren, erhalten wir:
BA'=((-1,5),(4,5),3) ==> |BA'|=sqrt(31,5)
CD'=((0,5),(-2,5),5) ==> |CD'|=sqrt(31,5)
Das stimmt schon mal, jetzt müssen wir noch prüfen ob die Geraden durch A'D' und BC parallel sind!
BC= vect[x]=(5;0;-1)+t*(-1;2;-2)
A'D'= vect[x]=(7/2;9/2;2)+t*(-1;2;-2)
Die Strecke BC ist hier die Grundseite sie ist 6Le lang, A'D' ist nur 3LE lang.
wie man leicht sieht sind sie parallel! Damit ist bewiesen, das die Schnittfläche ein gleichschenkeliges Trapez ist!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 329
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 12:53: |
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Das Volumen der Teilpyramide leite ich , da ich jetzt für ein paar Stunden noch mal Weg muss später her, als Lösung sei schonmal gesagt Vp=27 VE
mfg
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 330
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 16:18: |
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Ok,
kommen wir nun zum Volumen:
Dies Berechnet man über V=(1/3)*G*h
G=Grundfläche(hier des Trapezes)
h=Höhe der Teilpyramide
G=Flächeninhalt des Trapezes=[(a+c)/2]*h'
a=BC, c=A'D'
h'=Abstand der beiden parallel Geraden(weißt du wie das geht? ansonsten melde dich noch mal!)
==>G=[(6+3)/2]*sqrt(29,25)
==>G=4,5*sqrt(29,25)
fehlt noch h!! Das ist ja grade der Abstand von S zur Ebene! Und wie berechnet man Abstände von Punkten zu einer Ebene? Genau mit der Hesseschen Normalform(falls du sie nicht kennst, melde dich!!)!
==>E: 10x+4y-z=51
HNF von E: (10x+4y-z-51)/sqrt(117)=0
So, jetzt einfach S einsetzen liefert den Abstand
d(S,E)=36/sqrt(117)=h
Alle einsetzen liefert:
Vp=(1/3)*G*h
Vp=(1/3)*4,5*sqrt(29,25)*36/sqrt(117)
Vp=54*sqrt(29,25)/sqrt(117)
Vp=54*sqrt(29,25/117)
Vp=54*sqrt(0,25)
Vp=54*0,5
Vp=27 VE q.e.d
bei fragen melde dich!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1967
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 19:07: |
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Hi Ferdi,
Ich möchte Dich bitten,wenn Du schon in ein
laufendes Verfahren eingreifst,was man
anständigerweise nicht tun sollte,
nicht so unbedacht vorzugehen und die Zügel etwas anzuziehen.
Darf ich Dich ferner bitten,im Interesse der Schüler,die in Mathematik nicht so weit
fortgeschritten sind wie Du,
das Volumen der Teilpyramide nochmals sorgfältig
durchzurechnen,unter
Angabe der Zwischenresultate und Zwischenrechnungen (Höhe h´).
Hätte man nicht auch darauf hinweisen sollen,dass aus bestimmten Symmetriegründen stereometrisch
sofort klar ist,dass das Schnittpolygon ein gleichschenkliges Trapez ist?
Der Hinweis,es sei der Abstand der Parallelseiten auf die bekannte Art zu berechnen, finde ich, gelinde gesagt,deplaziert.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 331
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 21:33: |
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Hallo,
ich wollte mich nicht einmischen, ich wollte eigentlich nur helfen. Ich werde diesen Fehler nicht mehr machen.
Ich kann nur sagen, dass von meiner Sicht aus sylvia gar nicht so schlecht in Mathe sein kann. Sie hat die Aufgabe ja in "Abituraufgaben" gepostet. Ich bin ja auch gerade kurz vor dem Abitur, daher weiß ich wohl, was man dann wissen kann. Ausserdem habe ich zwar einfach die Lösung dahin geschrieben, aber auch erwähnt, falls sie es nicht kann, sie ja nochmal fragen kann. Hinzu kommt, dass ich nichts anderes angewendet habe als Schulwissen da ich so eine ähnliche Aufgabe schon selbst hatte im Unterricht hatte.
Naja, es war auf jeden Fall NICHT meine Absicht irgendwen zu ärgern oder irgendwas sonst!
Aber Nobody is perfect. Ich werde mich etwas zügeln.
mfg
tl198 |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 322
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Februar, 2003 - 22:39: |
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Hi Ferdi,
Ich weiß nicht was du gemacht hast das diech megamath so masregeln muss. Zugegeben diene Aussführungen sind vielleicht didaktisch nicht ganz com il faut wie sich das Herr Moser wohl vorgestellt hat, dennoch mathematisch sind sie korrekt und das ist erstmal das wichtigste.Falls man etwas nicht versteht kann man ja nachfragen.
Ich will mich eigentlich auch nicht einmischen aber ich halte die Kritik von Herrn Moser für unangebracht, unangemessen und nicht förderlich für den Umgang hier im Board.
Moralisch gebe ich dir Ferdi volle Rückendeckung gegen Elefant Moser der im Porzelanladen polterte. Aber ich denke so scharf wie der Ton sich in der Kritik an deiner Person anhörte hat das Herr Moser wohl nicht gemeint.
ich kenne Herrn Moser schon aus früheren Beiträgen im Board. Daher bin ich ja auch milde ausgedrückt von seimem Verhalten überrascht um das Wort schockiert zu vermeiden.
Man darf nur finde ich das jetzt auch nicht überbewerten. Mein kleines Statement hier sollte zur Beruhigung beitragen. Bleibt hart in der fachlichen Auseinandersetzung aber fair im Ton und Umgang!
Ferdi lass dich nicht aus der Ruhe bringen!!
Mein Appel an die erregten Gemüter
Niels |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 332
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Februar, 2003 - 15:36: |
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Hi Niels und H.R.,
ich finde Kritik immer angebracht. Zum Teil erkenne ich sie auch an, nur das was mir nicht gefiel hab ich auch gesagt. Ich bin auch keines falls erregt. Ich war jetzt auch ein paar Tage weg(Skispringen), wie ich gesehen habe, gab es Probleme mit dem Board!
Naja, für mich ist die Sache gegessen. Ich mache jetzt hier im Board weiter wie gewohnt!
Also auf zu neuen Ufern! Den wie sagt ein lateinisches Sprichwort so schön:
"dies diem docet"
mfg |
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