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Poly Nesia (polynesia2003)
Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 09:59: | 
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b) habe ich gelöst, aber bei den andren Aufgaben komme ich nicht weiter. Kann mir bitte jemand helfen?? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 318
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 12:28: |
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zu d)
Du=(4,-2u,(u-6))
schreibe dies in Komponentenschreibweise um:
x=4
y=-2u
z=-6+u
und dies stellt ja grade eine gerade dar, mit u als parameter!
die gerade lautet dann:
vect[x]=(4,0,-6)+u*(0,-2,1)
mfg |
Poly Nesia (polynesia2003)
Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 12:31: |
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Das ist alles??? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 321
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Februar, 2003 - 13:36: |
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Ja!
In der Mathematik hört sich vieles schwerer an als es in Wirklichkeit ist!
mfg |
Poly Nesia (polynesia2003)
Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Februar, 2003 - 08:09: |
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Hat noch jemand eine Idee zu dem Rest???? |
Holger (matheholger)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Februar, 2003 - 15:21: |
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Hi Poly
Ich hab von dir lauter Blätter bekommen. Die obige Aufgabe war nicht dabei. Also nehme ich an, du hast sie schon gelöst.
Jetzt zu deinem Matheblatt.
Aufgabe 1.b)
Man soll zeigen, dass
F(fi + fj) = F(fi) + F(fj) ist.
Die Definition von F bedeutet, dass man jedem Polynom f mit f(x) = ax³ + bx² + cx + d
ein anderes Polynom g(x) = 3ax² + 2bx + c
zuordnet.
Das bedeutet, dass man beim Einsetzen von f in F g(x) enthält, oder:
F(f) = F(ax³ + bx² + cx + d) = 3ax² + 2bx + c
oder einfach geschrieben:
F(f) = g(x)
Vergleicht man f mit g beiden, so ist g Ableitung von f. Also heißt "Bilde F(f)" dasselbe wie "Bilde die Ableitung von f". Das muss man zwar für die Lösung nicht wissen, aber so versteht man den Sinn der Aufgabe etwas besser.
Nimmt man
fi = aix³ + bix² + cix + di und
fj = ajx³ + bjx² + cjx + dj
dann ist
F(fi + fj) =
= F(aix³ + bix² + cix + di + ajx³ + bjx² + cjx + dj) =
= F(aix³ + ajx³ + bix² + bjx² + cix + cjx + dj + di) =
= F[(ai + aj)x³ + (bi + bj)x² + (ci + cj)x + (dj + di))
(ai + aj), (bi + bj),.. sind Summen reeller Zahlen und damit wieder reelle Zahlen, so dass man jede Klammer als eine reelle Zahl darstellen kann. Also setzen wir zum besseren Verständnis mal
a* = (ai + aj)
b* = (bi + bj)
c* = (ci + cj)
d* = (di + dj)
Dann wird aus obigem Term
F[(ai + aj)x³ + (bi + bj)x² + (ci + cj)x + (dj + di)) =
= F(a*x³ + b*x² + c*x + d*).
Von vorhin weißt du, was
F(ax³ + bx² + cx + d) ist, nämlich:
F(f) = F(ax³ + bx² + cx + d) = 3ax² + 2bx + c
Also gilt mit * :
F(a*x³ + b*x² + c*x + d*) = 3a*x² + 2b*x + c*
Jetzt kannst du wieder die lila Summen einsetzen und anders ordnen:
3a*x² + 2b*x + c* =
= 3(ai + aj)x² + 2(bi + bj)x + (ci + cj) =
= 3aix² + 3ajx² + 2bix + 2bjx + cix + cjx =
= 3aix² + 2bix + cix + 3ajx² + 2bjx + cjx =
= gi(x) + gj(x)
g(x) ist aber F(f) (vgl. oben:
F(f) = g(x)
Also ist
gi(x) = F(fi)
Damit:
gi(x) + gj(x) =
= F(fi) + F(fj).
Bei
2 F(zf) = z F(f)
ist ein Druckfehler: Das z ist entweder ein k oder oben k Element R heißt z Element R.
Also das Gleiche nochmal:
F(f) = F(ax³ + bx² + cx + d) = 3ax² + 2bx + c
mit zf = z(ax³ + bx² + cx + d) =
zax³ + zbx² + zcx + zd
wie oben ist za, zb,... je eine reellle Zahl und so kann man (muss man nicht) ersetzen:
a* = za
b* = zb
c* = zc
d* = zd
und es ergibt sich:
F(zf) =
= F(zax³ + zbx² + zcx + zd) =
= F(a*x³ + b*x² + c*x + d*) =
= 3a*x² + 2b*x + c* =
= 3zax² + 2zbx + zc =
= z(3ax² + 2bx + c) = zg(x) =
= zF(f).
c) Die Aufgabe bedeutet:
Eine Teilmenge der Menge der Polynome aus V1
(also f(x) = ax³ + bx² + cx + d)
hat die Eigenschaft, dass F(f) = 6x² - 4x + 3 ist.
Man soll nun untersuchen, ob diese Teilmenge ein UVektorraum (UV) ist.
Dazu muss man erstmal wissen, welche Elemente in V2 sind.
Denkst du dran, dass F(f) ableiten bedeutet, dann ist f die Funktion, die abgeleitet g* ergibt. (Nennt man auch Stammfunktion von g*), dann geht`s am einfachsten, oder du vergleichst
g*(x) = 6x² - 4x + 3 mit
g(x) = 3ax² + 2bx + c:
g*(x) = 3*2x² + 2*(-2)x + 3
dann siehst du dass die Parameter a, b und c
a = 2, b = -2 , c = 3 und d beliebig sind.
Damit wird aus f(x) = ax³ + bx² + cx + d:
f(x) = 2x³ - 2x² + 3x + d
Jetzt muss man untersuchen, ob die Menge aller Polynome, die so aussehen ( d darf dabei beliebig sein ) ein VR ist.
Dazu müssen alle Vektorraumaxiome erfüllt sein.
Ändern darf man nur das d. Also ist
f1(x) = 2x³ - 2x² + 3x + d1
und
f2(x) = 2x³ - 2x² + 3x + d2.
Überprüfst du nun das Axiom der Abgeschlossenheit auf V2 übertragen:
Zu je 2 Elementen f1 und f2 Element V2 gibt es genau 1 Element f3 aus V2 mit f3 = f1 + f2
Anders ausgedrückt: addierst du f1 + f2, so muss das Ergebnis wieder so aussehen:
f3 = 2x³ - 2x² + 3x + d3
Für d3 kann jede bel. reelle Zahl stehen.
Also:
f1(x) + f2(x) =
2x³ - 2x² + 3x + d1 + 2x³ - 2x² + 3x + d2 =
= 4x³ - 4x² + 6x + (d1 + d2) =
= 4x³ - 4x² + 6x + d3
Und schon siehst du, dass das nie und nimmer der lila Term von oben ist, also V2 kein UV ist.
Lebe Grüße
Dein Holger |
Poly Nesia (polynesia2003)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Februar, 2003 - 17:11: |
|
Super vielen Dank für Deine Hilfe! |
Poly Nesia (polynesia2003)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Februar, 2003 - 18:38: |
|
Also, ich habe vergessen, Dir DIESES Blatt oben zu schicken. Wenn Dir alos noch was dazu einfällt... . |
Holger (matheholger)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Februar, 2003 - 15:24: |
|
Zu oben:
a) Wenn Ax(-x;-8;1) ist, dann heißt A1, dass du für x 1 einsetzen musst.
Also:
A1(-1;-8;1)
B1(4;-4;2)
Ich mach den 2. Teil (... f. jedes bel. x...), der erste geht mit den beiden Punkten oben genauso.
(Statt Pfeil über Buchstabe f. Vektor schreibe ich dies immer fett)
Bestimme die beiden Vektoren CAx und CBx
CAx = ax - c
| ( | -x | ) | | ( | 0 | ) | | ( | -x | ) | | CAx = | ( | -8 | ) | - | ( | -8 | ) | = | ( | 0 | ) | | ( | 1 | ) | | ( | 4 | ) | | ( | -3 | ) |
| ( | 4 | ) | | ( | 0 | ) | | ( | 4 | ) | | CBx = | ( | -4 | ) | - | ( | -8 | ) | = | ( | 4 | ) | | ( | 2x | ) | | ( | 4 | ) | | ( | 2x-4 | ) |
Überprüfe sie auf lin. Unabhängigkeit:
Bei 2 Vektoren verwendet man die Beziehung:
a und b sind nicht lin. unabh., wenn es ein k element R gibt, so dass
k*a = b
Setzt man obige Vektoren für a und b, und löst Zeilenweise nach k auf, so muss 3 mal derselbe Wert für k (bzw. eine wahre Aussage) herauskommen, damit die Beziehung erfüllt ist.
Erhältst du verschieden Werte für k oder eine falsche Aussage (z.B. 0 = 4), dann gilt diese Beziehung nicht und die Vekt. sind lin. unabh.
k*CAx} = CBx}
ergibt:
| ( | -x | ) | | ( | 4 | ) | | k* | ( | -0 | ) | = | ( | -4 | ) | | ( | -3 | ) | | ( | 2x-4 | ) |
oder:
| ( | -kx | ) | | ( | 4 | ) | -> | k = -4/x (f. x ungl. 0) | | ( | 0 | ) | = | ( | 4 | ) | -> | 0 = 4 (f) | | ( | -3k | ) | | ( | 2x-4 | ) |
Da schon eine f. Auss. da steht, brauchst du die 3. Zeile nicht berechnen. Also sind die Vekt. lin. unabh.
zu c) Für die Ebene E3 brauchst du den Aufhängepunkt C und die RV CA3 und CB3. Für x = -2 nur -2 f. x einsetzen und genauso rechnen:
Ebenengleichung:
| ( | 0 | ) | | ( | -3 | ) | | ( | 4 | ) | | E3: x = | ( | -8 | ) | + r* | ( | 0 | ) | + s* | ( | 4 | ) | | ( | 4 | ) | | ( | -3 | ) | | ( | 2 | ) |
Du rechnest E-2 aus und postest mir das Ergebnis hierher, ja? Dann geht's weiter. Inzwischen mach ich die d)
|
Poly Nesia (polynesia2003)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Februar, 2003 - 16:03: |
|
Hi Holger,
als Gleichung für E3 habe ich raus:
-2x+y+2z=0
und für E-2:
3x+y+2z=0
Stimmt das so??? |
Holger (matheholger)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Februar, 2003 - 16:44: |
|
Jaaaaaa Poly, das ist gaanz richtig!!
DIe d) steht ja oben schon gelöst.
Dann setzt du die Gerade
| ( | 4 | ) | | ( | 0 | ) | | h: x = | ( | 0 | ) | + u* | ( | -2 | ) | | ( | -6 | ) | | ( | 1 | ) |
zeilenweise in die linke Seite der Gleichung von E-2 ein, also
| x = | 4 | + u* | 0 | = | 4 | | y = | 0 | + u* | -2 | = | -2u | | z = | -6 | + u* | 1 | = | u-6 |
.
Einsetzen bedeutet: Die Gerade und die Ebene werden miteinander verglichen und dabei gefragt: Welche(n) Punkt(e) haben beide gemeinsam? Du erhältst damit für u den Wert, bei dem beide sich schneiden. Es gibt 3 Möglichkeiten:
1. eine Lösung (z.B. u = 5) -> u einsetzen in h -> Schnittpunkt)
2. wahre Aussage (z.B. 0 = 0) unendlich viele Lösungen -> Gerade liegt in E
3. falsche Aussage (z.B. 0 = 1) kene Lösung -> Gerade parallel E
eingesetzt:
3*4 + (-2u) + 2* (u-6) = 0
12 -2u + 2u - 12 = 0.
0 = 0.
Dies ist eine wahre Aussage, also liegt h in der Ebene E-2.
Das war's dann für heute.
Liebe Grüße
Dein Holger
|
Poly Nesia (polynesia2003)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 58
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Februar, 2003 - 17:14: |
|
Danke Holger!
Hilfst Du mir morgen wieder??
Liebe Grüße
Poly |
Poly Nesia (polynesia2003)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 59
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Februar, 2003 - 21:03: |
|
Könntest Du bitte noch für die Vektoren CA1 und CB1 die lineare Unabhängigkeit zeigen? Kriege es nämlich nicht hin... . |
Holger (matheholger)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Februar, 2003 - 18:15: |
|
Na du,
Ich hoffe, du hattest einen schönen Tag.
Zu deiner Frage:
Ansatz ist hier k*CA1 = CB1
also:
| ( | -1 | ) | | ( | 4 | ) | | k* | ( | 0 | ) | = | ( | -4 | ) | | | ( | -3 | ) | | ( | -2 | ) |
Zeilenweise:
| -k | = | 4 | -> k = -4 | | k*0 | = | -4 | -> 0 = -4 (f) | | -3k | = | -2 | -> k = 2/3 |
Vgl. oben!!!
Jetzt hab ich Matheblatt 4 da.
Aufgabe 3.a) kannst du selber mal probieren und deinen Ansatz schicken.
Überleg dir dabei, wie die Richtungsvektoren von Ebene und Gerade sein müssen (lin. abhängig oder nicht) und was jeweils mit dem Verbindungsvektor von Aufhängepunkt der Gerade und der Ebene sein muss.
Dann können wir 3. b) machen.
Zu 4.
Zuerst die Seitenmitten MAB ist der Mittelpunkt von [AB], mAB sein Ortsvektor:
mAB = 0,5*[a - b]
| ( | 3 | + 4 | ) | | ( | 3,5 | ) | | mAB = 0,5* | ( | 2 | - 3 | ) | = | ( | -0,5 | ) | | ( | -1 | - 2 | ) | | ( | -1,5 | ) |
Genauso gehn die anderen 4 Seitenmitten:
| ( | 4 | - 3 | ) | | ( | 0,5 | ) | | mBC = 0,5* | ( | -3 | - 4 | ) | = | ( | -3,5 | ) | | ( | -2 | + 2 | ) | | ( | 0 | ) |
Für die Verbindungsgerade brauchst du einen RV und einen Aufhängepunkt (AP:
Als AP suchst du dir einen der beiden aus
z.B.MAB(3,5;-0,5;-1,5).
Der RV (u) ist der Verbindungsvektor von MBC zu MAB
RV:
| ( | 0,5 | - 3,5 | ) | | ( | -3 | ) | | ( | -3,5 | - (-0,5) | ) | = | ( | 3 | ) | | ( | 0 | - (-1,5) | ) | | ( | 1,5 | ) |
Koordinaten durch 1,5:
Jetzt die 1. Gleichung:
| ( | 3,5 | ) | | ( | -2 | ) | | g1: x = | ( | -0,5 | ) | +r* | ( | 2 | ) | | ( | -1,5 | ) | | ( | 1 | ) |
Die anderen 4 Geraden gehn genauso.
Wir lesen uns später noch.
Bis dann
Liebe Grüße
Holger
|
Poly Nesia (polynesia2003)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 60
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Februar, 2003 - 09:12: |
|
Hi Holger,
noch mal eine Frage:
Und zwar zu c), wo ich Dir meien Gleichung aufgeschrieben habe. Bei der Aufgabe sollte man die Schnittgerade berechnen. Ich habe als Schnittgerade g:x=(0;0;0)+t*(0;-2;1) heraus. Könntest Du das Ergebnis bitte überprüfen???
LG Poly |
Poly Nesia (polynesia2003)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Februar, 2003 - 09:55: |
|
Noch was zu d)
Du schreibst, h liegt in der Ebene -2
Mir hat jemand gesagt, dass die Gerade parallel zu g ist, da beide den gleichen Richtungsvektor haben und somit auch parallel zu E-2 und E3, denn der Richtungsvektor der Geraden h steht senkrecht auf den Normalvektor (3;1;2) der Ebene -2, denn deren skalares Produkt ist 0 3;1;2)x(0;-2;1)=0-2+2=0. Somit muß h parallel zu E-2 sein.
Was stimmt nun? Deine Aussage, nämlich, dass h in der Ebene liegt oder meien Aussage, dass h parallel zu E-2 ist??? |
Holger (matheholger)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 64
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Februar, 2003 - 13:52: |
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Hi Poly
zu c) Jaa, Schnittgerade passt.
zu d) Wir haben beide recht:
Streng genommen gibt es parallel und echt parallel. Ist die Gerade parallel zur Ebene, so kann sie sowohl in der Ebene liegen als auch die Ebene nicht berühren und damit echt parallel sein. Hierbei sind der RV der Gerade und die beiden RV der Ebene lin. abhängig (Dies ist dein Argument).
Ich habe mit meiner Methode zwischen den 3 Möglichkeiten
1. echt parallel,
2. liegt in der Ebene
3. schneidet die Ebene in einem Punkt
herausbekommen.
Mit der Möglichkeit von Jemand kann man nur zwischen parallel (1. und 2. zusammen) und 3. unterscheiden.
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Poly Nesia (polynesia2003)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: polynesia2003
Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Februar, 2003 - 14:07: |
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Ich schicke Dir mal eine MAil! ISt super wichtig!! |
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