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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 307
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Februar, 2003 - 20:48: | 
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Hi, ich hab eine alte Aufgabe von H.R.Moser zur Gammafunktion gefunden und sie versucht zu lösen, kann ja mal einer überprüfen, ob das so korrekt ist! Danke.
Hier die Aufgabe:
Sei f(t) = (sin t *cos t) ^(1/3) , g(t) = 1 / f(t)
A und B sind die Integrale über f(t) bezw. g(t)
je in den Grenzen t = 0 bis t = ½* Pi.
Man beweise die coole Relation:
A * B = ½ * Pi * sqrt(3)
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Viel Spass !
So, ich habe zuerst a berechnet:
ò0 p/2 3Ö(sin(t)*cos(t))dt
Dazu hab ich im Eulerschen Intgral erster Gattung, der Betafunktion substituiert x=(sin^2(t)) =>1-x=(cos^2(t)) =>dx=sin(t)*cos(t) dt =>t=0,p/2
==>B(p;q)=2*ò0 p/2 (sin(t))^(2p-1)*(cos(t))^(2q-1) dt
Für A, setze ich p=q=(2/3)
=> B((2/3);(2/3))=2*ò0 p/2 3Ö(sin(t)*cos(t)) dt
Da zwischen Gamma- und Betafunktion der Zusammenhang gilt:
B(p;q)=[G(p)*G(q)]/[G(p+q)]
bekomme ich für mein Intgral A die Lösung
A=[(1/2)*G(2/3)^2]/(G(4/3))
Es gilt G(p)=(p-1)*G(p-1), für p=(4/3)
G(4/3)=(1/3)*G(1/3) => in A
A=(1/2)*[3*G(2/3)^2]/(G(1/3))
Nun berechnet man B:
Ich nehme in B(p;q) p=q=(1/3)
==>B((1/3);(1/3))=2*ò0 p/2 1/(3Ö(sin(t)*cos(t))) dt
==> B=(1/2)*[G(1/3)^2]/(G(2/3))
Nun berechnet man A*B:
(1/2)*[3*G(2/3)^2]/(G(1/3))*(1/2)*[G(1/3)^2]/(G(2/ 3))
=(1/4)*3*(G(1/3)*G(2/3))
Nun benutzen wir G(p)*G(1-p)=p/sin(p*p) mit p=(1/3) liefert
G(1/3)*G(2/3)=2*p*3^(-1/2)
setzen wir dies in (1/4)*3*(G(1/3)*G(2/3)) ein erhalten wir:
(1/2)*p*Ö3
q.e.d.
hoffe es stimmt so!
mfg
(Beitrag nachträglich am 02., Februar. 2003 von tl198 editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1960
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 13:16: |
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Hi Ferdi
Ich habe meine alte Aufgabe kaum wieder erkannt;
kannst Du das Erscheinungsdatum angeben und
herausfinden, ob auch eine ausführliche Lösung
von mir vorliegt?
Ich habe nochmals alles durchgerechnet.
Da die Gammawerte für 1/3 und 2/3 eine entscheidende
Rolle spielen, habe ich zuerst die Beziehung bewiesen:
G(1/3)* G(2/3) = 2 Pi / wurzel(3)…………………..(I)
Für A erhalte ich die Versionen
½ G(2/3)^2 / G(4/3) = ½* 3* G(2/3)^2 / G(1/3)
= ½ * 3 * G(2/3) ^ 3 / [G(1/3) G(2/3)] =
3* wurzel(3) / ( 4 Pi ) * G (2/3) ^3
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Für B:
G(1/3)^2 / [2 * G(2/3)] = G(1/3)^3 / [2* G(1/3) G(2/3) ] =
wurzel(3) / ( 4 Pi ) * G (1/3) ^ 3
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Mit (I) zusammen erhält man das angegebene coole Resultat!
Ich gratuliere Dir zu Deiner erfolgreichen
Rechnung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 308
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Februar, 2003 - 13:36: |
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Hi H.R.,
also die Aufgabe stammt exakt vom:
03. Mai, 2002 - 22:03
in dem Beitrag: "Berechnung zweier bestimmter Integrale"
Es war eine Zusatzaufgabe für jemanden, der sie nie gelöst hat! Du hattest in diesem Beitrag vorher zwei bestimmte Integrale berechnet! Naja, ich versuche mich zur Zeit in diese Materie einzuarbeiten, da der Schulstoff ja abgeschlossen ist und bis zum Abi noch ca.10 Wochen Zeit sind!
mfg |
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