| Autor |
Beitrag |
    
Selina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 20:01: | 
|
Hallo,
Wie kann ich dies Aufgabe anpacken ?
Die Funktion f (x) = 1 / (1- x ) ^ (3/2) soll an der
Stelle x = 0 mit Hilfe der Taylorentwicklung durch
ein Polynom vierten Grades möglichst gut
approximiert werden
Man bestimme dieses Polynom.
Wer kann mir helfen ?
Dank zum voraus.
Selina |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 21:29: |
|
Hi Selina,
Es gibt mehrere Methoden, das Problem anzugehen.
I.
Entwicklung der Funktion f(x) mittels Ableitungen in die
Tayloreihe (Mac-Laurinsche Reihe) .
Ergebnis:
f(x) = 1 + 3 / 2 * x^2 + 15 / 8 * x^4 + 35 /16 x^6 +
II.
Benützung der binomischen Entwicklung
(1 + h) ^ n = 1 + n* h + n*(n-1) /2! * h^2 +..........
mit h = x ^ 2 und n = - 3 / 2 ; es entsteht
f(x) = 1 + 3 / 2 * x^2 + 15 / 8 * x^4 +…….
wie oben:
III.
Bei genauem Hinsehen und scharfem Nachdenken merkt man:
Setzen wir g(x) = arcsin x, so erhält man mit Hilfe der zweiten Ableitung
g``(x) gerade f(x) als Quotient g`` (x) / x, also
f(x) = g`` (x) / x,
Die Reihenentwicklung von arcsin x ist wohlbekannt:
arcsin x = x + ½ * x^3 /3 + 1*3 / 2*4 * x^5/5 + 1*3*5 / 2*4*6 *x ^7/7+....;
leitet man beide Seiten zweimal nach x ab und dividiert mit x , so entsteht
wiederum das obige Resultat.
Somit lautet das gesuchte Polynom vierten Grades:
p(x) = f(x) = 1 + 3 / 2 * x^2 + 15 / 8 * x^4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Selina
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 09:12: |
|
Hallo megamath,
vielen Dank für die interessanten Lösungen !
MfG
Selina |
|
