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Beitrag |
    
Tom
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 07:12: | 
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Hallo,
Diese Aufgabe über den kürzesten Abstand windsschiefer Geraden kann
ich leider nicht lösen.
Ich finde keinen brauchbaren Ansatz und bitte um Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Durch die gegebenen Punkte A(a/0/0),B(0/b/0),C(0/0/c) auf den
Koordinatenachsen wird die Ebene E gelegt und von P(a/b/c) aus
auf E die senkrechte Gerade n gelegt
Man berechne die kürzesten Abstände von n zu den Koordinatenachsen.
Besten Dank im voraus
Tom |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 09:27: |
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Hi Tom,
Berechnung des kürzesten Abstandes Dx von n und der x-Achse:
Gleichung von E in Achsenabschnittsform
x /a + y / b + z / c = 1 oder
b c * x + c a * y + a b * z = a b c
Richtungsvektor u der x-Achse
u = {1 ; 0 ; 0 }
Richtugsvektor v der Senkrechten n auf E
v = { b c ; c a ; a b},
Verbindungsvektor w der Punkte O ( 0 /0 / 0 ) auf der x-Achse
und P (a / b / c) auf der Senkrechten n .
w = OP = { a ; b ; c }
Darstellung des Abstandes Dx mit der Abstandsformel;
Dx = abs( [ u , v , w ] ) / abs ( u x v )
Im Zähler steht der Betrag des gemischten Produkts (Spatprodukt) der
Vektoren u , v , w ;
im Nenner steht der Betrag des Vektorprodukts der Vektoren u und v.
Ausführung :
Vektorprodukt p = u x v = {0 ;-u v ; u w } = u * { 0 ; - v ; w }
Betrag von p : abs p= abs(u) * wurzel ( v ^ 2 + w ^2 )
Gemischtes Produkt g = [ u , v , w ] = Skalarprodukt
p .w = - u * v^ 2 + u * w ^ 2 = u * ( - v ^ 2 + w ^ 2 )
Betrag von g
abs(g) = abs(u) * abs(w^2-v^2), somit
Dx = abs (g) / abs (p) = abs(w^2-v^2) / wurzel ( v ^ 2 + w ^2 )
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Die Abstände Dy , Dz ergeben sich aus Dx durch zyklische Vertauschung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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