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Anicka
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 22:25: |
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Hallo! Kann mir vielleicht irgendjemand helfen? Ich muss die Oberfläche des Körpers, der durch Rotation von f(x)= cos(2x) im Intervall I = [0 ; pi/4] um die x-Achse entsteht berechnen. Ich hab es auch schon probiert und zwar mit der Formel: M=2*pi*INTEGRAL(f(x)*WURZEL(1+[f'(x)]^2)). Dabei stoße ich aber immer auf Integrationsprobleme. Weiß vielleicht jemand, wie ich diese Aufgabe lösen kann? |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 08:28: |
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Hi Anicka, Das folgende unbestimmte Integral, das im Laufe der Berechnung auftreten wird, entnehmen wir einer geeigneten Formelsammlung : int [(wurzel (1 + u ^ 2)) * du ] = ½ * [ u * wurzel (1 + u ^ 2) + ln {u + wurzel (1 + u ^ 2 )}] ..............(1) Berechnung des Mantels M des Rotationskörpers. Vorbereitung: aus y = cos (2 x) folgt y ` = - 2 sin(2 x) ds = wurzel [1+ (y `) ^ 2 ] * dx = wurzel [1+ 4*(sin 2x) ^ 2 ] * dx , daraus M = 2 * Pi * int [ y * ds ]……………………………………………(2) Berechnung des bestimmten Integrals J = int [ y * ds ],also J = int [cos(2 x) * wurzel [1+ 4*(sin 2x) ^ 2 ] * dx , untere Grenze x = 0 , obere Grenze x = ¼ *Pi, Wir substituieren: 2*sin(2x) = u , daraus: 4* cos(2x) * dx = du Grenzen bezüglich u: untere Grenze u = 2*sin0 = 0 , obere Grenze u = 2*sin(2* Pi/4) = 2* sin (Pi/2) = 2 J = ¼ * int [wurzel (1+u^2) *du] in den genannten Grenzen Nach(1) folgt daraus (Grenzen ausgewertet): J = 1/8* [2*wurzel(5)+ ln(2 + wurzel(5))] Nach (2) kommt für die Mantelfläche: M = 2*Pi* 1/8 * [2*wurzel(5)+ ln(2+wurzel(5))]= ¼ * Pi* [ 2 * wurzel(5) + ln (2+wurzel(5))] = 4,646.. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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