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Beitrag |
    
Anicka
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 22:25: | 
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Hallo!
Kann mir vielleicht irgendjemand helfen?
Ich muss die Oberfläche des Körpers, der durch Rotation von f(x)= cos(2x) im Intervall I = [0 ; pi/4] um die x-Achse entsteht berechnen.
Ich hab es auch schon probiert und zwar mit der Formel: M=2*pi*INTEGRAL(f(x)*WURZEL(1+[f'(x)]^2)).
Dabei stoße ich aber immer auf Integrationsprobleme.
Weiß vielleicht jemand, wie ich diese Aufgabe lösen kann? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 08:28: |
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Hi Anicka,
Das folgende unbestimmte Integral, das im Laufe der Berechnung
auftreten wird, entnehmen wir einer geeigneten Formelsammlung :
int [(wurzel (1 + u ^ 2)) * du ] =
½ * [ u * wurzel (1 + u ^ 2) + ln {u + wurzel (1 + u ^ 2 )}] ..............(1)
Berechnung des Mantels M des Rotationskörpers.
Vorbereitung: aus y = cos (2 x) folgt
y ` = - 2 sin(2 x)
ds = wurzel [1+ (y `) ^ 2 ] * dx = wurzel [1+ 4*(sin 2x) ^ 2 ] * dx ,
daraus
M = 2 * Pi * int [ y * ds ]……………………………………………(2)
Berechnung des bestimmten Integrals J = int [ y * ds ],also
J = int [cos(2 x) * wurzel [1+ 4*(sin 2x) ^ 2 ] * dx ,
untere Grenze x = 0 , obere Grenze x = ¼ *Pi,
Wir substituieren:
2*sin(2x) = u , daraus: 4* cos(2x) * dx = du
Grenzen bezüglich u:
untere Grenze u = 2*sin0 = 0 ,
obere Grenze u = 2*sin(2* Pi/4) = 2* sin (Pi/2) = 2
J = ¼ * int [wurzel (1+u^2) *du] in den genannten Grenzen
Nach(1) folgt daraus (Grenzen ausgewertet):
J = 1/8* [2*wurzel(5)+ ln(2 + wurzel(5))]
Nach (2) kommt für die Mantelfläche:
M = 2*Pi* 1/8 * [2*wurzel(5)+ ln(2+wurzel(5))]=
¼ * Pi* [ 2 * wurzel(5) + ln (2+wurzel(5))] = 4,646..
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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