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Beitrag |
    
CocaCola
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 19:44: | 
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Wer kann diese Aufgaben lösen???
In einer Urne sind 10 Kugeln (6 blaue; 4 rote). Es werden gleichzeitig drei Kugeln gezogen.
Es wird das Zufallsexperiment zweimal durchgeführt. Dabei gelte folgendes: Treffer (T) sei ein Drilling, alles andere sei eine Niete (N).
Bestimmen Sie für dieses zweistufige Zufallsexperiment einen Ergebnisraum S' und die Wahrscheinlichkeitsfunktion P' (Baumdiagramm).
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer! |
gofal
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 22:32: |
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Zuerst der Wahrscheinlichkeitsraum W und der Ereignisraum S'. Bei der Bestimmung von W ist darauf zu achten, daß alle Ereignisse darin gleich wahrscheinlich sind, diese Bedingung erfüllt folgendes:
seien xi die i-te Kugel der Urne, wobei die x1 bis x6 die blauen und x7 bis x10 die roten Kugeln sind. xi=1 heißt, daß die i-te Kugel gezogen wurde, und xi=0 bedeutet, daß die i-te Kugel eben nicht gezogen wurde.
W = {(x1,...,x10)|xie{0,1},S10 i=1xi=3}
Das heißt, man betrachtet jene Ereignisse, wo von den 10 Kugeln genau 3 gezogen werden. Die Anzahl der möglichen Ereignisse, also die Mächtigkeit von W, ist (103). Damit meine ich den Binomailkoeffizient "10 über 3".
Die Menge der "positiven Ereignisse", also die Treffer sind:
S' = {(x1,...,x10)|xie{0,1},S6 i=1xi=3 v S10 i=7xi=3}
Das sind also die Ereignisse, wo die drei gezogenen entweder alle blau oder alle rot sind.
Die Anzahl der Ereignisse in S sind (63)+(43).
Insgesamt ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eines Treffers
P(Treffer) = |S'| / |W| = (63)+(43))/(103) = (20+4)/120 = 0.2
Nun wird zweimal gezogen. Es ergeben sich also folgende Möglichkeiten, die als Baum zu zeichnen sind:
(Treffer, Treffer) , (Treffer, Niete) , (Niete, Treffer) , (Niete, Niete).
Wie Wahrscheinlichkeiten multiplizieren sich natürlich. Wir brauchen die Wahrscheinlichkeit für mindestesns einen Treffer. Uns interessieren also folgende Fälle:
(Treffer, Treffer) + (Treffer, Niete) + (Niete, Treffer)
Die Wahrscheinlichkteit dafür ist also
0.2*0.2 + 0.2*0.8 + 0.8*0.2 = 0.36
man erhält also mit der Wahrscheinlichkeit von 0.36 mindestens einen Treffer |
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