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Horst
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 19:27: | 
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Hallo,
Mit welchen Ansätzen löst man die folgende Ellipsenaufgabe ?
Wie lautet die Gleichung der Ellipse, deren höchster und
tiefster Punkt die Koordinaten H(5/4) bzw. T(3/0) hat
und durch den Punkt P(2/1) geht ?
Für allfällige Hilfen danke ich schon jetzt.
MfG
Horst |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 21:23: |
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Hi Horst,
Da die Tangenten der Ellipse in H und in T je zur x-Achse
und damit unter sich parallel sind, liegen die Punkte
H und T bezüglich des Mittelpunktes der Ellipse symmetrisch,
mit anderen Worten:
Die Gerade HT ist ein Durchmesser der Ellipse.
Die Koordinaten xM ,yM des Mittelpunktes M ergeben sich
als arithmetische Mittel der gleichnamigen Koordinaten
von H und T :
xM = ½ (xH+xT) = 4
yM = ½ (yH+yT) = 2, somit M(4/2)
Wir wählen diesen Punkt als neuen Nullpunkt eines parallel
verschobenen (X,Y)-Koordinatensystems.
Die Transformationsgleichungen bezüglich der alten
Koordinaten (x,y) und der neuen Koordinaten(X,Y) lauten
x = X + 4 , y = Y + 2 und umgekehrt:
X = x - 4 , Y =y - 2
Die neuen Koordinaten der Punkte H und P sind
XH = 1 , YH = 2 , XP = -2 , YP = - 1.
Die neuen Koordinaten von T brauchen wir nicht.
Im neuen Koordinatensystem lautet die Gleichung der Ellipse
im Ansatz so :
A X ^ 2 + 2 B X Y + C Y ^ 2 = K =1……………………………………..(G)
(im Sinne einer Normierung haben wir K = 1 gesetzt)
Die zentrale Symmetrie der Ellipse bezüglich des neuen Nullpunktes,
der mit dem Mittelpunkt M der Ellipse zusammenfällt,
kommt klar zum Ausdruck.
Wir haben die Wahl des neuen Systems mit Bedacht so getroffen.
Wir leiten die Gleichung (G) der Ellipse implizit nach X ab :
2 A X + 2 B Y + 2 B X Y ` + 2 C Y Y ` = 0 ,
nach der Ableitung Y ` aufgelöst :
Y ` = - [ A X + B Y ] / [ B X + C Y ]……………………………………(D)
Für die unbekannten Koeffizienten A,B , C schreiben wir drei
Gleichungen an ,nämlich:
A*1 + 2 B * 2 + C* 4 = 1 , da H auf der Ellipse liegt ,nach (G)
A*4 + 2 B * 2 + C* 4 = 1 , da P auf der Ellipse liegt, nach (G
A* 1 + B * 2 = 0 , da die Ableitung in H null ist (Zähler in (D) null)
Aus diesen drei linearen Gleichung berechnet man leicht::
A =1 / 3 , B = - 1/6 , C = 1 / 3 , wir erhalten damit die Gleichung
der Ellipse im neuen System
X ^ 2 - X * Y + Y ^ 2 = 3 , im alten System :
( x – 4 ) ^ 2 – ( x – 4 ) * ( x – 2 ) + (y – 2 ) ^ 2 = 3 , vereinfacht:
x ^ 2 – x * y + y ^ 2 – 6 x + 9 = 0
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Horst
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 17:37: |
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Hallo
Dank an Megamath für seine sehr verständliche Lösung !
Horst |
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