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Beitrag |
    
Liebeck
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 14:30: | 
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Hallo,
Aufgabe:
a)Zeige, das Schaubild von
ft: x --> -x^4+2x^3-2tx+t hat für jedes teR zwei Wendepunkte.
b) Für welchen Wert von t haben die Wendepunkte den kleinsten Abstand voneinander? (Anleitung: Beachte, dass mit dem Abstand auch das Quadrat des Abstandes extremal wird.)
Vielen Dank |
K.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 19:42: |
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Hallo Liebeck
zunächst Ableitungen bilden
f(x)=-x4+2x³-2tx+t
f'(x)=-4x³+6x²-2t
f"(x)=-12x²+12x
f"'(x)=-24x+12
Wendestellen: f"(x)=0
<=> -12x²+12x=0
<=> 12x(-x+1)=0
=> x=0 oder x=1
Wegen f"'(0)=12 und f"'(1)=-12 sind x=0 und x=1 Wendestellen.
Zugehörige y-Werte ermitteln:
y1=f(0)=t
y2=f(1)=-1+2-2t+t=1-t
also
W1(0|t) und W2(1|1-t)
b) Abstand zweier Punkte voneinander:
d=Ö((x2-x1)²+(y2-y1)²) und damit
d²=(x2-x1)²+(y2-y1)²
d²=(1-0)²+(1-t-t)²=1+(1-2t)²
d²=1+1-4t+4t²
d²=2-4t+4t²
Wegen (d²)'=-4+8t=0
<=> 8t=4
<=> t=1/2
ist d² und damit d für t=1/2 extremal.
Mit (d²)"=8>0 ist d für t=1/2 ein Minimum.
Mfg K. |
Liebeck
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 19:54: |
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Vielen Dank K. |
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