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Grom (Grom)
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 22:43: | 
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Muß bis Mittwoch vormittag einen Übungszettel abgeben, doch habe leider überhaupt keine Ahnung, wie ich die Aufgaben lösen soll. Vielleicht könnte mir jemand von euch helfen...
Aufg. 1)
Berechne den Gradienten der folgenden Funktionen:
a) f(x,y,z)=x²z³sin(x,y)
b) f(x index 1, x index 2,...,x index n)=x² index 1 + x² index 2 +...+ x² index n
c)gleich wie bei b), nur statt Addition Multiplikation
Aufg 2)
Wie sehen die Höhenlinien folgender Funktion aus?
f(x,y)=1/(2x²+y²+1)
Warum liegt im Nullpunkt ein Maximum? Bestimme die lokalen Extrema!
Aufg.3)
Sei f(x,y)=x²y Bestimme die Höhenlinien und die kritischen Punkte. Zeige, daß f(x,y) keine lokalen Extrema hat, aber einen Sattelpunkt.
könnte mie jemand helfen, so wäre ich sehr dankbar. meine Klausurzulassung hängt davon ab. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 20:12: |
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Hallo Grom,
Soll sin(x,y) vielleicht sin(x*y) heißen? |
Ulf (Silverhawk)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 00:05: |
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Hi Grom,
prinzipielle Erklärung:
Der Gradient ist eigentlich nichts weiter als die Ableitung der Funktion nach den verschiedenen Veränderlichen. Die Ableitungen ( bei dir drei, da du die drei Veränderlichen x,y und z hast) werden dann als Vektor geschrieben. Das ist dann der Gradient grad f = [df/dx, df/dy, df/dz] .
Bei den s.g. partiellen Ableitungen, also den Ableitungen nach einer Variablen, werden die anderen Variablen als Konstanten betrachtet und entsprechend abgeleitet.
a)
f(x,y,z) = x²z³sin(x*y):
grad f = [2x*z³*cos(x*y)*y, x²z³cos(x*y)*x, x²3z²sin(x*y)]
b)
f(x index 1, x index 2,...,x index n)=x² index 1 + x² index 2 +...+ x² index n
grad f = [2x index 1, 2x index 2, ..., 2x index n]
c)
Multiplikation:
grad f = 2x index1 * x² index 2 *...* x² index n, x² index 1 * 2x index2 *...* x² index n , ..., x² index 1 * x² index2 *...* 2x index n ]
Aufgabe 2:
Höhenlinien haben die Eigenschaft, dass sie in einer Ebene liegen, also einen konstanten Funktionswert haben. Also setzen wir f(x,y)=c , wobei wir für c nacheinander verschiedene Werte einsetzen (z.B. -1, 0 ,1, 2 ...). Das lösen wir jeweils nach y auf und haben "normale" Funktionsgleichungen einer Veränderlichen ....
Für das Maximum gilt: grad f = [0,0], d.h. die Ableitungen nach allen Veränderlichen müssen sämtlich Null sein. (notwendiges Kriterium)
Als hinreichendes Kriterium gibt es da noch die HESSE-Matrix, deren sämtliche Unterdeterminanten größer Null sein müssen (Minimum) oder kleiner Null sein müssen (Maximum). Ist es durchmischt, so handelt es sich bei dem Punkt um einen Sattelpunkt ...
Ichbhoffe, damit kannst du die dritte Aufgabe auch lösen.
Die Hesse-Matrix noch in Form von Spalten-Vektoren geschrieben:
H = [fxx,fyx],[fxy, fyy] für eine Fkt. mit zwei Veränderlichen ...
Viel Erfolg, Gruß Ulf |
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