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Robert
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 22:19: |
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Hallo ! Hier eine Aufgabe über affine Abbildungen, mit der ich nicht klar komme. Die Aufgabe lautet : Eine Affinität wird durch das Dreieckspaar entsprechender Punkte gegeben Dem Nullpunkt O( 0 / 0) entspricht der Nullpunkt O ° ( 0 / 0 ) als Bildpunkt, dem Punkt A(1 / 0) der Punkt A° ( 2 / 1 ) und der Punkt B( 0 / 1) hat B° ( 0 / 2 ) als Bild . a) Welches ist die Gleichung der Bildellipse des Kreises x^2 + y^2 = 1 ? b) Man berechne das Produkt a b der Halbachsen dieser Ellipse. Vielen Dank zum voraus für jede Hilfe MfG Robert |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 07:22: |
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Hi Robert Die Abbildungsmatrix A der affinen Abbildung lautet A= [[2,0],[1,2]] In der ersten Spalte stehen die Koordinaten des Bildvektors OA° des ersten Basiseinheitsvektors OA In der zweiten Spalte stehen die Koordinaten des Bildvektors OB° des zweiten Basiseinheitsvektors OB. Die Abbildungsgleichungen lauten (mit P(x/y) als Originalpunkt und P°(x°/y°) als Bildpunkt): x° = 2 x y° = x + 2 y umgekehrt gilt x = ½ x° y = - ¼ x° + ½ y° Die Matrix [[ ½ ,0],[- ¼ , ½ ]] ist die inverse Matrix A^ (-1) zu A. Wir gewinnen die Gleichung der Bildellipse durch Einsetzen der x- und y-Werte aus dem letzen System in die Kreisgleichung. Nach gehörigrer Vereinfachung kommt: 5 x° ^ 2 + 4 y° ^ 2 – 4 x ° y ° = 16 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Damit ist die Teilaufgabe a) gelöst. Für die Lösung der Teilaufgabe b ) verwenden wir zwei Methoden 1.Methode Wir ermitteln die Halbachsen a und b mit Hilfe der Eigenwerte L1,L2 der Matrix A. Diese ergeben sich aus der charakteristischen Gleichung L ^ 2 – 9 L + 16 = 0. Lösungen: L1 = ½ (9 + wurzel(17)) und L2 = ½ (9 - wurzel(17)) Bezieht man nun die Ellipse auf das System X,Y der Hauptachsen, so lautet ihre Gleichung L1 * X ^2 + L2 * Y ^ 2 = 16 , aus der man die Achsenquadrate abliest: a ^ 2 = 16 / L1, b ^ 2 = 16 / L2, multiplizieren wir diese Gleichungen, so kommt: a ^ 2 * b ^ 2 = 16 ^2 / ( L1 * L2 ) Für das Produkt L1*L2 erhalten wir nach Vieta aus der charakteristischen Gleichung : L1 * L2 = 16 , somit a ^ 2 * b ^ 2 = 16 oder a * b = 4 °°°°°°°°° 2.Methode Diese Methode beruht auf einer interessanten Eigenschaft konjugierter Halbmesser einer Ellipse. Dieser Satz lautet: Der Flächeninhalt des von zwei konjugierten Halbmessern bestimmten Dreiecks ist konstant und stimmt mit demjenigen des von den Halbachsen gebildeten rechtwinkligen Dreiecks überein. Oder so: Die Fläche des von konjugierten Halbmessern aufgespannten Parallelogramms stimmt mit der Fläche des Rechtecks überein, das von den Halbachsen a und b gebildet wird. Nun sind die Strecken OA° und OB° konjugierte Halbmesser der vorliegenden Ellipse, da sie durch eine affine Abbildung aus zwei senkrechten Kreisradien OA und OB hervorgegangen sind. Wir bestimmen den Flächeninhalt F des von den Vektoren u = OA° und v = OB° aufgespannten Dreiecks OA°B° mit Hilfe des Vektorprodukts p = u x v. Die Koordinaten der Vektoren sind: u ={ 2;1;0} , v = {0;2;0}, damit berechnet man den Vektor p zu p = {0;0;4}. Der Betrag 4 von p gibt den Flächeninhalt des von u und v aufgespannten Parallelogramms. Nach dem erwähnten Satz kommt wiederum a * b = 4, w.z.b.w. °°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath |
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