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Ellipse als affines Bild eines Kreises

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Abbildungen » Ellipse als affines Bild eines Kreises « Zurück Vor »

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Robert
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Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 22:19:   Beitrag drucken

Hallo !

Hier eine Aufgabe über affine Abbildungen, mit der ich nicht klar komme.
Die Aufgabe lautet :
Eine Affinität wird durch das Dreieckspaar entsprechender Punkte gegeben
Dem Nullpunkt O( 0 / 0) entspricht der Nullpunkt O ° ( 0 / 0 ) als Bildpunkt,
dem Punkt A(1 / 0) der Punkt A° ( 2 / 1 ) und der Punkt B( 0 / 1) hat B° ( 0 / 2 )
als Bild .
a) Welches ist die Gleichung der Bildellipse des Kreises x^2 + y^2 = 1 ?
b) Man berechne das Produkt a b der Halbachsen dieser Ellipse.

Vielen Dank zum voraus für jede Hilfe
MfG
Robert
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 07:22:   Beitrag drucken

Hi Robert

Die Abbildungsmatrix A der affinen Abbildung lautet
A= [[2,0],[1,2]]
In der ersten Spalte stehen die Koordinaten des Bildvektors OA° des
ersten Basiseinheitsvektors OA
In der zweiten Spalte stehen die Koordinaten des Bildvektors OB° des
zweiten Basiseinheitsvektors OB.
Die Abbildungsgleichungen lauten
(mit P(x/y) als Originalpunkt und P°(x°/y°) als Bildpunkt):
x° = 2 x
y° = x + 2 y

umgekehrt gilt
x = ½ x°
y = - ¼ x° + ½ y°

Die Matrix [[ ½ ,0],[- ¼ , ½ ]] ist die inverse Matrix A^ (-1) zu A.

Wir gewinnen die Gleichung der Bildellipse durch Einsetzen der
x- und y-Werte aus dem letzen System in die Kreisgleichung.
Nach gehörigrer Vereinfachung kommt:
5 x° ^ 2 + 4 y° ^ 2 – 4 x ° y ° = 16
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Damit ist die Teilaufgabe a) gelöst.
Für die Lösung der Teilaufgabe b ) verwenden wir zwei Methoden

1.Methode
Wir ermitteln die Halbachsen a und b mit Hilfe der Eigenwerte
L1,L2 der Matrix A. Diese ergeben sich aus der charakteristischen
Gleichung
L ^ 2 – 9 L + 16 = 0.
Lösungen:
L1 = ½ (9 + wurzel(17)) und L2 = ½ (9 - wurzel(17))

Bezieht man nun die Ellipse auf das System X,Y der Hauptachsen,
so lautet ihre Gleichung
L1 * X ^2 + L2 * Y ^ 2 = 16 , aus der man die Achsenquadrate abliest:
a ^ 2 = 16 / L1, b ^ 2 = 16 / L2, multiplizieren wir diese Gleichungen,
so kommt:
a ^ 2 * b ^ 2 = 16 ^2 / ( L1 * L2 )
Für das Produkt L1*L2 erhalten wir nach Vieta aus der charakteristischen
Gleichung :
L1 * L2 = 16 , somit a ^ 2 * b ^ 2 = 16 oder
a * b = 4
°°°°°°°°°

2.Methode
Diese Methode beruht auf einer interessanten Eigenschaft konjugierter
Halbmesser einer Ellipse.
Dieser Satz lautet:
Der Flächeninhalt des von zwei konjugierten Halbmessern bestimmten
Dreiecks ist konstant und stimmt mit demjenigen des von den Halbachsen
gebildeten rechtwinkligen Dreiecks überein.
Oder so:
Die Fläche des von konjugierten Halbmessern aufgespannten Parallelogramms
stimmt mit der Fläche des Rechtecks überein, das von den Halbachsen a und b
gebildet wird.

Nun sind die Strecken OA° und OB° konjugierte Halbmesser der
vorliegenden Ellipse, da sie durch eine affine Abbildung aus zwei
senkrechten Kreisradien OA und OB hervorgegangen sind.

Wir bestimmen den Flächeninhalt F des von den Vektoren
u = OA° und v = OB° aufgespannten Dreiecks OA°B° mit Hilfe
des Vektorprodukts p = u x v.
Die Koordinaten der Vektoren sind:
u ={ 2;1;0} , v = {0;2;0}, damit berechnet man den Vektor p zu
p = {0;0;4}.
Der Betrag 4 von p gibt den Flächeninhalt des von u und v
aufgespannten Parallelogramms.
Nach dem erwähnten Satz kommt wiederum
a * b = 4, w.z.b.w.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°

MfG
H.R.Moser,megamath

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