| Autor |
Beitrag |
    
Salomé
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 06:53: | 
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Hallo
Eine Aufgabe über affine Abbildung in der Ebene bereitet mir Schwierigkeiten.
Ich finde keinen Lösungsweg für diese Aufgabe:
Welchen Bedingungen müssen die Elemente a1,b1 (erste Zeile) ,a2,b2 (zweite Zeile)
der Matrix A genügen, damit sie eine Scherung an einer Geraden durch den
Nullpunkt beschreibt ?
Vielen Dank zum voraus für Hilfen !
Salomé |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Januar, 2002 - 09:01: |
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Hi Salome
Ich zeige Dir zwei Lösungsmethoden für diese Marteraufgabe,
pardon Matrixaufgabe.
Die Matrix A laute im Ansatz:
A = [[a1,b1],[a2,b2]]
Erste Methode
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Die Determinante D = a1 * b2 – a2 * b1 ist 1 , da die Abbildung flächentreu
und orientierungstreu ist
Beide Eigenwerte L sind gleich 1:
L1 = L2 = 1 ,wie aus dem Charakter der Scherung hervorgeht.
(siehe den ausführlichen Kommentar bei der Bearbeitung der Methode 2)
Allgemein lautet die charakteristische Gleichung für diese Matrix A:
L^2 - S * L + D = 0 ; S stellt die Spur der Matrix A dar, also
S = a1 + b2
Wir setzen L = 1 und D = 1 ein und erhalten aus der Gleichung
1 – S +1 = 0 für die Spur S den Wert 2
Somit lauten die gesuchten Bedingungen:
a1 * b2 – a2 * b1 = 1 und a1 + b2 = 2
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Zweite Methode
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Wir schreiben für den Originalpunkt P(x/y) und den Bildpunkt P°(x°/y°)
die Abbildungsgleichungen auf.
Diese lauten:
x° = a1 * x + b1* y
y° = a2 * x + b2* y
Insbesondere geht der Einheitspunkt E (1 / 0) auf der x-Achse in den
Bildpunkt E°(a1/a2) über.
Die Verbindungsgerade g = E E° ist eine Parallele zur Affinitätsrichtung.
Ihre Steigung ist m = a2 / ( a1-1)
Da die Affinitätsrichtung bei Scherungen zur Affinitätsachse parallel ist
(dies ist eine charakteristische Eigenschaft der Scherung), kennen wir
jetzt die Affinitätsachse f.
Diese ist eine Ursprungsgerade; ihre Gleichung lautet:
y = m x = a2 / ( a1-1) * x
Andrerseits ermitteln wir die Fixgerade der Abbildung
(das ist im vorliegenden Fall die Affinitätsachse f )
auf gewohnt souveräne Art :
Wir setzen in den Abbildungsgleichungen x° für x ein und
für y° setzen wir y.
Es genügt, diese Prozedur mit der ersten Gleichung zu vollziehen
Es entsteht als Gleichung der Fixgeraden f:
y = a1 x + b1 y .oder geordnet
y = a1/(1-b1) * x ; daraus entnehmen wir die Steigung
m = a1 / (1-b1);
die beiden so gewonnenen Werte für m müssen übereinstimmen; mithin
a1/(1-b1) == a2 / ( a1-1), daraus wie oben:
a1 + b2 = 2 , nach wie vor auch a1 * b2 – a2 * b1 = 1
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BRAVO !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Salomé
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 09:15: |
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Hallo H.R.Moser,megamath
Vielen Dank für Deine ausführliche Lösung.
Ich habe viel neues gelernt !
MfG
Salomé |
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