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Beitrag |
    
Hannes
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 18:12: | 
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Hallo
Bei der folgenden Aufgabe komme ich nicht zurecht.
Kann mir jemand bitte helfen ?
Dank im voraus !
Die Aufgabe lautet : Gegeben wird die Gleichung einer Kurve:
y^2 = x^2 (x – 1) / (x - 2)
Man bestimme die Gleichungen der schiefen Asymptoten.
und berechne das Volumen des Körpers, welcher bei der
Rotation des Kurvenbogens von x =1 bis x =2 um die x-Achse
entsteht.
MfG
Hannes |
Thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 19:01: |
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Hallo Hannes,
die schiefen Asymptoten sind y=x und y=-x, da der Term (x-1)/(x-2) für x gegen Unendlich gegen 1 strebt.
Für das Volumen des Rotationskörpers gilt allgemein:
V=Pi*Integral(Quadrat der Funktion)
Das Quadrat der Funktion hast du ja schon dastehen. Setz es ein und integriere mit den Grenzen 1 und 2.
Grüße,
Thomas |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 19:21: |
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Hi Hannes,
Bezüglich der Asymptoten gehe ich mit Thomas nicht einig,
da nach meinen Ueberlegungen diese nicht Ursprungsgeraden sind !
Zuerst berechnen wir die Steigung m einer der schiefen Asymptoten
als Grenzwert lim(y/x) für x strebt gegen unendlich ;
aus (y/x) ^ 2 =(x-1)/(x-2) folgt nach erfolgtem Grenzübergang :
m ^ 2 = 1 , weil der Grenzwert der gebrochenen rationalen Funktion
(x-1) / (x-2) für x gegen unendlich eins betr.ägt.
Es gibt offenbar zwei schiefe Asymptoten a1, a2 mit den Steigungen
m1 = 1 , m2 = -1
Soweit gehe ich mit Thomas einig
Aber nun Achtung !
Es müssen in den entsprechenden Gleichungen y = m x + q
der Asymptoten die Achsenabschnitte q ermittelt werden.
Das geht am besten so :
Für die Ermittlung von a1 setzen wir y = x + q in die Kurvengleichung ein.
Es entsteht
x^2 + 2 q x + q^2 = x^2 ( x – 1 ) / ( x – 2 ) , Division mit x liefert :
x + 2 q + q ^2 / x = x ( x – 1 ) / ( x – 2 ) = x * [ 1 + 1 / ( x – 2) ] ,
vereinfacht :
2 q + q ^2 / x = x / ( x – 2) , lassen wir jetzt x nach unendlich gehen ,
so ergibt sich 2 q = 1 , daraus q = ½
Asymptote a1: y = x + ½ , analog und auch aus Symmetriegründen kommt für
die zweite schiefe Asymptote a2 : y = - x - ½
Rotationsvolumen
V = Pi * int [ y^2 ]* dx = Pi * int [x^2 ( x – 1 ) / ( x – 2 ) ]* dx,
untere Grenze 0, obere Grenze 1.
Mit dem unbestimmte Integral F = int [x ^ 2 ( x – 1 ) / ( x – 2 ) ] * dx =
x^3/3 + x^2/2 + 2 x + 4 ln ( x – 2 ) erhält man für V:
V = Pi*[17/6 - 4* ln (2) ] = 0,19083
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
Thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 18:39: |
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Hallo megamath,
du hast vollkommen recht. Da war ich etwas vorschnell.
Thomas |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 20:31: |
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Hi Thomas,
Du bist salviert !
Das passiert recht oft.
Ich bin auch schon über dieses q gestolpert !
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath |
Hannes
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Januar, 2002 - 20:37: |
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Hallo Thomas ,hallo H.R.Moser,megamath
Vielen Dank an euch beide für die nützliche Hilfe
Hannes |
Chrisi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 10:58: |
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Hilfe !!!!
Ich soll das Rotationsvolumen in einem Referat erklären hab aber totale Probleme damit !
-Begründung und Erläuterung der Berechnungsformel
für Rotationsvolumen
-Anwendung : "Kepler´sche Fassregel" (allg.)
Kann mir bitte bitte bitte einer helfen ,ich bin am VERZWEIFELN |
BB
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 19:03: |
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Hallo Chrisi,
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Lars (thawk)
Mitglied
Benutzername: thawk
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. April, 2002 - 09:51: |
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Hi Chrisi.
Schau mal hier http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?tpc=9308&post=91858#POST91858 |
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