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Schar mit ln-Funktion

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Christoph
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Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 18:45:   Beitrag drucken

kann mir bitte jemand helfen???!!!
Die Aufgabe:
fk(x)=x*(1- 1/k *lnx)
1.)Funktion diskutieren
2.)zeigen, daß sich alle Graphen der Schar unabhängig von k in einem Punkt schneiden
3.)lim fk(x) x->0 bestimmen und den Flächeninhalt berechnen, den der Graph von fk mit der x-Achse einschließt
4.) Für welchen Wert k wird dieser Flächeninhalt extremal?
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K.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Januar, 2002 - 21:05:   Beitrag drucken

Hallo Christoph

fk(x)=x(1-(1/k)*lnx)

1.) Definitionsbereich: {x€R|x>0), da lnx nur für x>0 definiert.

Nullstellen: fk(x)=0
<=> x(1-(1/k)lnx)=0
=> x=0 oder 1-(1/k)lnx=0 <=> 1=1/k*lnx <=> k=lnx <=> x=ek

Ableitungen:
fk(x)=x(1-(1/k)lnx)=x-(x/k)lnx
fk'(x)=1-[(1/k)lnx+(x/k)*(1/x)]
=1-(1/k)lnx+k=1+k-(1/k)lnx
fk"(x)=-(1/k)*(1/x)=-1/(kx)
fk"'(x)=-(1/k)*(-1/x²)=1/(kx²)

Extrema: fk'(x)=0
<=> 1+k-(1/k)lnx=0
<=> (1/k)lnx=1+k |+k
<=> lnx=k(1+k)
<=> x=ek(1+k)

Mit 2. Ableitung auf Min und Max überprüfen:
fk"(ek(1+k))=-1/(k*(ek(1+k))
Wegen -1/(k*ek(k+1))>0 für k<0 hat die Funktion für k<0 ein Minimum für x=ek(1+k)
Entsprechend hat die Funktion für k>0 bei x=ek(k+1) ein Maximum.

Wendestellen: fk"(x)=0
<=> -1/(kx)=0
=> keine Wendestellen.

2.)Seien fk1 und fk2 zwei beliebige Kurven der Schar. Sie haben einen gemeinsamen Schnittpunkt, wenn gilt
fk1(x)=fk2(x)
<=> x(1-(1/k1)lnx)=x(1-(1/k2)lnx)
<=> x(1-(1/k1)lnx)-x(1-(1/k2)lnx)=0
<=> x[1-(1/k1)lnx-1+(1/k2)lnx]=0
=> x=0 oder 1-(1/k1)lnx-1+(1/k2)lnx=0

=> Die Graphen schneiden sich alle bei x=0 unabhängig von k.

3.) lim (x->0)fk(x)=lim(x->0)[x(1-(1/k)lnx)]=0

A=ò0 ek[x(1-(1/k)lnx)]dx
=ò0 ek[x-(x/k)lnx]dx
=ò0 ek[x-(1/k)*xlnx]dx
=[(x²/2)-(1/k)((x²/2)(lnx-(1/2)))]ek0
=[(x²/2)(1-(1/k)(lnx-(1/2)))]ek0
=|(e2k/2)(1-(1/k)(lnek-(1/2)))|
=|(e2k/2)(1-(1/k)(k-(1/2)))|
=|(e2k/2)(1-(1-1/2k))|
=|(e2k/2)(1/2k)=|e2k/(4k)|

4.) A'(k)=[2e2k*4k-e2k*4]/(16k²)=0
<=> 4k*e2k-4*e2k=0
<=> e2k(4k-4)=0
=> 4k-4=0 <=> k=1
Müsste noch mit 2. Ableitung überprüft werden.

Mfg K.

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