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Nadine (Auntly)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 16:02: | 
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Ich habe eine Kurvenschr f(x)=(x-1/a)*e{ax}.Brauche bitte ersten drei Ableitungen, Nullstellen,Extrema,Wendestellen und die Ortskurve.
Danke Nadine. |
Astrid Sawatzky (Sawatzky)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 10:48: |
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Liebe Nadine,
Fangen wir an mit den Ableitungen:
f(x) = (x-1/a)*e^(ax) (war doch so gemeint , oder?)
Das Malzeichen sagt mir , das ist ein Produkt , also Produktregel:
Ist f(x) eine funktion der Form u(x)*v(x) so ist
f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)
okay u(x)= x-1/a und v(x) = e^(ax)
u'(x) ist ziemlich einfach, oder?
v(x) sieht aber noch ziemlich böse aus.
v(x) = e^(ax)
also gucken wir uns den erstmal richtig an.
hmmm e^x ableiten wär ja einfach ist ja immer e^x. (find ich übrigens ziemlich klasse, dass das so ist: Ne Kurve die ihre eigene Steigung wiedergibt)
e^(ax) ist aber offensichtlich (?) eine Verkettung von 2 Funktionen , nämlich e^z und z=ax.
Ah, Kettenregel:
ist f(x) eine funktion der form u(v(x)), so ist f'(x)= v'(x)*u'(v(x))
wobei bei uns e^x = u(x) und v(x) = ax
also u'(x)= e^x und v'(x) = a
basteln wir das mal zusammen:
f'(x) = v'(x)*u'(v(x)) = a * e^(ax)
fertig? oh nein, das war ja nur ein Teil von der eigentlichen Aufgabe.
Das f'(x) , dass wir jetzt heraus bekommen haben ist ja leider nur das v'(x) von der produktregel, bläh. Aber das haben wir immer hin.
Also nochmal oben nachgucken
f(x) = (x-1/a)*e^(ax)
ist f(x) = u(x) * v(x) so ist
f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)
okay u(x) = (x-1/a) => u'(x) = 1
v(x) = e^(ax) => v'(x) = a * e^(ax)
das alles einsetzen:
f'(x) = 1 * e^(ax) + (x-1/a)* a * e^(ax)
das muß man doch noch vereinfachen können:
f'(x) = e^(ax) + (ax-1) * e^(ax)
was passiert denn wenn man jetzt e^(ax) ausklammert:
f'(x) = e^(ax)*(1 + (ax-1)) = e^(ax)*ax
nochmal umstellen, weils besser aussieht
f'(x) = ax*e^(ax)
na klasse, d.h. die nächste Ableitung funktioniert nach dem gleichen Prinzip. (Probiers mal)
Nullstellen
f(x) = (x-1/a)*e^(ax) = 0
Hatten wir ja oben schon gemerkt, dass das ein Produkt ist:
Wenn einer der Faktoren = 0 , dann ist der gesamte Ausdruck = 0
also (x-1/a) = 0 (das geht ) oder e^(ax) = 0 (da gibt es keine Lösung weil eine zahl ungleich 0 hoch irgendwas einfach nicht 0 wird) bleibt also 1 Nullstelle, die du selber rauskriegst ;-)
für die Extrema und wendestellen, mußt du ja nur die Ableitungen entsprechend = 0 setzen.
Das schaffst du auch :-)
wenn du noch fragen hast, melde dich
Gruß Astrid |
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