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dermold
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 13:14: | 
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Hallo, die aufgabe lautet:
f(x) = 4(x-1) / x^2
b) die kurve K, die x - achse und die gerade g:x=z (z>0) begrenzen eine fläche. berechne ihren inhalt a(z).
c) die in b) berechnete fläche mit dem inhalt a(z) rotiere um die x - achse. berechne den rauminhalt des entstehenden drehkörpers.
Also die aufgabe b konnte ich lösen. dort kam ich auf folgendes ergebnis:
a(z) = 4(lnz + 1/z -1) das steht auch im lösungsbuch.
Bloß bei aufgabe c komme ich nicht weiter. habe nur den ansatz:
(f(x))^2 = 16(x^2 - 2x + 1) / x^4
(integral zwischen 1 und z)!!
V = 16*pi integral[(x^2 - 2x + 1) / x^4] dx
es hapert eigentlich bei der aufleitung dieser funktion. ich bin mir aber auch nicht sicher ob mein bisheriger weg in aufgabe c richtig ist. wer kann mir hier ein wenig weiterhelfen.
bye dermold |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 13:35: |
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Hallo Dermold
sieht doch gut aus
V=16*piò1 z[(x²-2x+1)/x4]dx
=16*piò1 z[(1/x²)-(2/x³)+(1/x4)]dx
=16*pi*[-(1/x)+(1/x²)-(1/(3x³))]z1
=16*pi[-(1/z)+(1/z²)-(1/(3z³))-(-1+1-(1/3))]
=16*pi[-(1/z)+(1/z²)-(1/(3z³))+(1/3)]
=16/(3z³)*pi*(-3z²+3z-1+z³)
=(16*pi/(3z³))(z³-3z²+3z-1)
Mfg K. |
dermold
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 14:18: |
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jo, danke
habe ich gar nicht gesehen das es doch einfach ist, wenn man den term nur ein wenig umformt.
die nächste teilaufgabe will bei mir aber auhc nicht so richtig gehen. ich habe zwar ein ergebnis, aber das lösungsbuch sagt wieda was anderes.
d) die punkte A(1|0), P(u|f(u)) und Q(u|0) mit u > 1 sind die ecken eines dreiecks. durch rotation dieses dreiecks um die x-achse entsteht ein gekl. wie groß kann der rauminhalt größtens werden?
mein weg:
V(kegel) = pi/3 * r^2 * h
v = pi/3 * ( 4(u-1)/u^2 )^2 * u
= 16*pi/3 ( (u^2-2u+1)/u^4 ) * 4
= 16*pi/3 ( (u^2-2u+1)/u^3 )
v' bilden
hier komme ich auf:
v' = 16*pi/3 ( (-u^2+4u-3)/u^3 )
v' = 0
...
0 = u^2-4u+3
ex1 = 1
ex2 = 3
laut lösungbuch müssen aber 1 und 4 herauskommen. also muss ich mich irgendwo verrechnet haben, vielleicht kann mir dies ja noch jemand vorrechnen.
dermold |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 15:24: |
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Hallo Dermold
vermute dein Fehler steckt bei der Höhe des Kegels.
Die Höhe ist die Strecke AQ, und damit h=(u-1)
Setzen wir's mal ein
V=(1/3)*pi*(4(u-1)/u²)²*(u-1)
=(1/3)*pi*(16(u-1)²/u4)(u-1)
=(1/3)*pi*16(u-1)³/u4
=16/3*pi*(u²-2u+1)(u-1)/u4
=16/3*pi*(u³-2u²+u-u²+2u-1)/u4
=16/3*pi*(u³-3u²+3u-1)/uu
V'=16/3*pi*[(3u²-6u+3)*u4-(u³-3u²+3u-1)*4u³]/u8
=16/3*pi*[(3u²-6u+3)*u-4(u³-3u²+3u-1)]/u5
=16/3*pi*[3u³-6u²+3u-4u³+12u²-12u+4)/u5
=16/3*pi*[-u³+6u²-9u+4)/u5
V'=0
<=> -u³+6u²-9u+4=0
<=> u³-6u²+9u-4=0
<=> (u²-5u+4)(u-1)=0
<=> (u-4)(u-1)(u-1)=0
<=> (u-4)(u-1)²=0
=> u=4 oder u=1, wobei nach Voraussetzung u>1
Also einzig mögliche Lösung u=4
Mit 2. Ableitung überprüfen:
V"=16/3*pi[(-3u²+12u-9)*u5-(-u³+6u²-9u+4)*5u4]/u10
=16/3*pi*[(-3u²+12u-9)*u-5(-u³+6u²-9u+4)]/u6
=16/3*pi*[-3u³+12u²-9u+5u³-30u²+45u-20]/u6
=16/3*pi*(2u³-18u²+36u-20)/u6
V"(4)=16/3*pi*[-36]/4096<0 => Max für u=4
Mfg K. |
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