| Autor |
Beitrag |
    
Tim0
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 11:06: | 
|
Hallo Leute,
Hier sind ja wirklich viele Mathe-Cracks dabei.
Deshalb hab ich auch mal ne Frage.
Für meine Facharbeit brauch ich die Herleitung der Kissoide.
Kann mir jemend helfen?
DANKE
Timo |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 17:12: |
|
Hi Timo ,
Grundwissen zur Kissoide
A)
Zur Nomenklatur.
Es sind zwei Schreibweisen gebräuchlich, sowohl „Kissoide“
als auch „Kissoide“.
Der Name stammt vom altgriechischen Wort „kissos“ (Efeu)
(Betonung auf der letzten Silbe) ab und hat mit dem
englischen Wort kiss nichts zu tun.
Die so benannte algebraische Kurve besitzt eine Spitze
und gleicht damit in der Umgebung dieser Spitze der Umgebung
der Spitze eines Efeublattes.
B)
Gleichung der Kissoide in Normalform bezogen auf ein
rechtwinkliges Koordinatensystem:
x ^ 3 – y ^ 2* ( 2 * a – x ^ 3 ) = 0 , a>0
Definitionsbereich : 0 < = x < = w mit w = (2a ) ^ (1/3)
Die Kurve ist zur x –Achse symmetrisch und verläuft im I .und IV.
Quadrant.(Zweig I und Zweig II)
Die Parallele zur y-Achse mit der Gleichung x = w ist eine Asymptote
Die x-Achse berührt im Nullpunkt O die beiden Zweige trennend
(man spricht von einer Rückkehrtangente ).
O selbst ist eine so genannte Spitze erster Art.
C)
Wie entstehe Kissoiden ?
Eine Kissoide kann als Fusspunktkurve einer Parabel gewonnen werde
Eine Fusspunktkurve entsteht, wenn von einem festen Punkt C(m/n) aus die
Senkrechten auf die Tangenten einer Kurve k gefällt werden.
Die Fusspunkte F(u /v) dieser Lote beschreiben dann die Fusspunktkurve
k* von k bezüglich des Poles C.
Wählt man als Kurve k die Parabel y^2 = 2 p x und als Pol C den Scheitel O,
so erhält man als Gleichung der Ortskurve k* der Fusspunkte die Zissoide
u ^ 3 + u * v ^ 2 + ½ * p * v ^ 2 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Auf Wunsch werde ich die letzte Gleichung herleiten und analysieren.
Mit Sicherheit könnte über die Kissoide noch mehr geplaudert werden
Stoff genug !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tim0
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 18:42: |
|
Erstmal vielen Dank H.R.Moser,megamath !!
Aber mich interessiert mehr wie man auf:
x ^ 3 – y ^ 2* ( 2 * a – x ^ 3 ) = 0
kommt.THX! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 21:47: |
|
Hi Tim0
Zuerst gebe ich Dir eine Definition der Kissoide als Ortskurve
Daraufhin leiten wir eine Koordinatengleichung der Kurve her.
Wir werden – oh Wunder - auf die in meiner vorhergehenden Arbeit
erwähnte Gleichung stossen.
Vorläufig lasse ich die Deutung der Kissoide als Fusspunktkurve einer
Parabel weg.
Wir werden bei den Brechnungen mit elementarer Trigonometrie auskommen
Voraussetzung für das Verständnis ist jedoch eine sorgfätlig hergestellte Figur,
mit welcher die Dispositionen genau festgehalten werden können
Wir beginnen mit einem rechtwinkligen (x,y) –Koordinatensystem ,
Nullpunkt O.
Ein Kreis vom Radius r (beliebig,aber fest vorgegeben) und Mittelpunk M
auf der positiven x Achse ,berührt die y-Achse in O.
Dieser Kreis schneidet die x-Achse (ausser in O ) im Punkt A.
Es ist also OA = 2 r
In diesem Punkt A wird die Kreistangente g gezeichnet, welche zur
y-Achse parall ist (die y-Achse und g sind somit zwei parallele
Kreistangenten; ihr Abstand ist 2 r.
Jetzt geht’s erst richtig los !
Wir legen durch O eine Gerade h, eine sogenannte Sekante, welche den
Kreis im Punkt Q und die Tangente g im Punkt R schneidet.
Der Richtungswinkel von g bezüglich der positiven x-Achse sei wie üblich
mit phi bezeichnet ; tan (phi) = m ist die Steigung von h.
Die Parallele p zur x-Achse durch Q schneidet g in G .
Die Parallele q zur y-Achse durch Q schneidet die x-Achse in F.
Wir erhalten nun den auf der Sekante h liegenden Punkt P auf der Kissoide
per definitionem dadurch, dass wir dafür sorgen, dass der Abstand OP
mit der Strecke QR übereinstimmt ; diese Bedingung gilt für jede Lage
er sich um O drehenden Sekante h.
Der Punkt P habe die Koordinaten x , y , also:P( x / y )
Der Punkt Q habe die Koordinaten s , t , also:Q (s / t )
Es geht nun darum , diese
Ortsbedingung OP = QR
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
rechnerisch umzusetzen.
Bevor wir dies tun, ist für mich eine Pause fällig !
Während dieser Zeit stelle bitte eine sorgfältige Zeichnung her.
Bis dann
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 22:24: |
|
Hi Tim0 ,
Wir nehmen den Faden der Ariadne wieder auf und wenden
uns Thales zu.
Beachte, dass das Dreieck OAQ wegen des Satzes von Thales
einen rechten Winkel bei Q hat
OA = 2 r ist die Hypotenuse, OQ und QA sind die Katheten;
phi ist der spitze Winkel bei der Ecke O, QF die Höhe zur
Hypotenuse.
Somit gilt
OQ = 2 r * cos (phi), ferner :
OP = x / cos(phi)
s = OF = OQ cos (phi) = 2 r [cos(phi)]^2
t = FQ = OQ sin(phi) = = 2r sin (phi) cos (phi)
QS = 2r–s = 2 r–2r*[cos(phi)]^2 = 2r*{1–[cos(phi)]^2} = 2r [sin(phi)]^2
QR = QS / cos(phi) = 2r * [ sin(phi) ] ^2 / cos(phi)
Jetzt setzen wir die Bedingung OP = QR an :
x / cos(phi) = 2 r * [ sin(phi) ] ^2 / cos(phi) ; cos(phi hebt sich weg !; es bleibt:
x = 2 r * [ sin(phi) ] ^ 2 , wegen y/x = tan(phi) kommt y = x * tan(phi),mithin:
y = 2 r * [ sin(phi) ] ^2 * tan(phi)
die Gleichungen
x = 2 r * [ sin(phi) ] ^2
y = 2 r * [ sin(phi) ] ^2 * tan(phi)
stellen eine Parametergleichung der Kissoide mit phi als Parameter dar
Eliminiere daraus phi, und Du bist am Ziel.
Bei Bedarf komme ich morgen darauf zurück
Noch Fragen Tim0 ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 09:35: |
|
Hi Tim0 ,
In einer Fortsetzung leiten wir aus der Parameterdarstellung der Zissoide
x = 2 r * [ sin(phi) ] ^2
y = 2 r * [ sin(phi) ] ^2 * tan(phi)
die gewünschte implizite Gleichung in x,y her .
Aus tan(phi) = y/x folgt mit einer bekannten Formel der Goniometrie
[cos(phi)] ^ 2 = 1 / {1+ [tan (phi) ^2 ] } = x ^ 2 / ( x ^ 2 + y ^ 2 )
Weiterhin gilt die Umformung
[ sin (phi) ] ^ 2 = [ tan (phi) ] ^ 2 * [cos (phi) ] ^ 2 , mithin
[ sin (phi) ] ^ 2 = y ^ 2 / x ^ 2 * {x ^ 2 / ( x ^ 2 + y ^ 2 )},dies setzen wir ein in
x = 2 r * [ sin(phi) ] ^ 2 ; damit ist phi eliminiert, und wir erhalten schliesslich
x ^3 * [ x ^ 2 + y ^ 2 ] = 2 * r * x ^ 2 * y ^ 2 oder
x ^ 3 + x * y ^ 2 = 2 * r * y ^ 2 .
Setzt man noch 2* r = a , so hat man genau die am Anfang mitgeteilte Gleichung
der Zissoide.
Beachte
a ist der Durchmesser des Hilfskreises, von dem wir ausgegangen sind
x = a ist die Gleichung der Kreistangente g, welche zugleich die Asymptote
der Zissoide ist.
Wir sehen das , wenn wir die Gleichung nach y ^ 2 auflösen:
y ^ 2 = x ^ 3 / ( a – x )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tim0
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 10:02: |
|
ach herr je....das hätt ich wirklich nicht geglaubt....VIELEN DANK!
Erstmal kannst du dir eine Pause erlauben ;)...muss das alles erstmal nachvollziehen und verstehen bzw. Fragen stellen.
Meld mich wieder...wenn ich "fertig" bin  ) |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 10:33: |
|
Hi Tim0,
Ergänzungen zum Thema Zissoide
1.
Die vollständige Bezeichnung dieser Kurve lautet:
Zissoide des Diokles
Im „Brockhaus“ lesen wir nach:
<Diokles, griech. Mathematiker um 100v.Chr.; Verfasser eines verlorenen Werkes
über Brennspiegel. Bekannt ist seine Lösung des delischen Problems der
Würfelverdoppelung mittels der von ihm gefundenen Zissoide.>
2.
Herleitung der Polarkoordinatendarstellung der Zissoide
(x-Achse als Polarachse, O als Pol)
(rho) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 =
a ^ 2 * [sin (phi) ] ^ 4 + a ^ 2 * [sin (phi) ] ^ 4 * [ tan (phi)] ^ 2
= a ^ 2 * [sin (phi) ] ^ 4 * { 1 + [ tan (phi)] ^ 2 } =
= a ^ 2 * [sin (phi) ] ^ 4 * { 1 / [ cos (phi)] ^ 2 }, daraus
rho = a* [ sin(phi)] ^2 / cos (phi) ]
Beachte auch, dass dieses Ergebnis bereits in einer früheren Arbeit
enthalten ist.
Es ist nämlich:
rho = OP = x / cos (phi) = a* [ sin(phi)] ^2 / cos (phi) ]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
3.
Man berechne die Fläche F ,welche von der Zissoide (beide Zweige)
und der Asymptote x = a begrenzt wird (mittelschwierig)
Resultat:
F = ¾ * Pi * a^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°
F ist also das Dreifache der Fläche des gegebenen Kreises
mit dem Durchmesser a .
4.
Länge s des Bogens OP von phi = 0 bis phi (schwierig):
S = a* {U/ cos(phi)–2–wurzel(3)* ln [(U+V) / (2+wurzel(3))]}
Mit U = U(phi) = wurzel {1 + 3 * [cos(phi)] ^ 2 }
V = V (phi) = wurzel(3) * cos(phi)
5.
Drücke die Steigung m* der Tangente im Punkt (x,y) durch
m = tan(phi), d.h. durch die Steigung der Geraden OP aus
(mittelschwierig)
Resultat:
m* = ½ m ( 2 + m + m ^ 3 )
Das sollte genügen !
MfG
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Januar, 2002 - 10:48: |
|
Hi Tim0,
Schlusswort zur Zissoide
(wer hat das letzte Wort ?)
Punkt 6.
Bestimme den Schnittpunkt der Zissoide mit dem erzeugenden Kreis ,
Mittelpunkt ( ½ a / 0 ), Radius ½ a. (leichte Aufgabe)
Resultat.
Die Schnittpunkte ergeben sich sofort anschaulich als höchster Punkt
H(½ a / ½ a) und als tiefster Punkt T(½ a /-½ a) des Kreises.
Rechnerisch: schneide die Zissoide mit dem Kreis, dessen
Gleichung mit y ^ 2 = a x - x ^ 2 angeschrieben werden kann.
Punkt 7
Die Gleichung der Fusspunktkurve der Parabel, die ich eingangs
meiner Ausführungen zur Zissoide erwähnt habe, muss noch ein wenig
frisiert werden, damit sie mit unserer Gleichung, die wir immer benützt
haben,übereinstimmt
Setze in der Gleichung
u ^ 3 + u * v ^ 2 + ½ * p * v ^ 2 = 0
u = - x und v = y ,dann kommt
y ^ 2 = x ^ 3 / ( ½ p – x ) , somit gilt
a = ½ p (Hälfte des Parameters der Parabel)
Wo liegt also der Brennpunkt der Parabel ?
Punkt 8
Etwas beschämt muss ich gestehen, dass unter Punkt 5 ein Rechenfehler
passiert ist !
Das richtige Resultat lautet
Richtiges Ergebnis:
m* = ½ m ( 3 + m ^ 2 )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tim0
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 13:26: |
|
Hallo Moser,megamath,
Brauche dringend nochmal deine Hilfe, Mein Lehrer will eine andere Herleitung, also ohne Phi und sin & cos. Strecke "Rg" soll "t" sein. Kreis is festgelegt: r=1 M(0;1) durchmesser=2
Und man mit Hilfe von F bzw. 2-F die Gleichung:
Wurzel[x³ / (2-x)]
herleiten, nachdem man t rausgekürzt hat.
Vielen Dank
Ps. was ist bei Ihnen "Groß S"?
PPS. Haben sie Email/ICQ?
Tim0 |
Tim0
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 13:26: |
|
Hallo Moser,megamath,
Brauche dringend nochmal deine Hilfe, Mein Lehrer will eine andere Herleitung, also ohne Phi und sin & cos. Strecke "Rg" soll "t" sein. Kreis is festgelegt: r=1 M(0;1) durchmesser=2
Und man mit Hilfe von F bzw. 2-F die Gleichung:
Wurzel[x³ / (2-x)]
herleiten, nachdem man t rausgekürzt hat.
Vielen Dank
Ps. was ist bei Ihnen "Groß S"?
PPS. Haben sie Email/ICQ?
Tim0 |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 08:57: |
|
Hi Timo
Selbstverständlich gibt es auch Herleitungen, welche ohne Anwendung der
Trigonometrie auskommen.
Wir wollen Deinem Lehrer diesen Gefallen tun.
Ebenso wählen wir r = 1 , also a = 2.
An den bisherigen Bezeichnungen wird grundsätzlich nichts geändert.
Da t als y- Wert von Q schon vergeben ist, wird RG mit g bezeichnet.
Ausserdem kommt ein Punkt H auf der x-Achse neu dazu:
H sei der Schnittpunkt der Parallelen zur y-Achse, welche durch P(x / y) geht.
Aus der Grundbedingung OP = QR für die Zissoide folgt die Gleichheit
der Strecken OH = QG und PH = RG
Daraus entspringen zwei einfache Gleichungen:
x = 2 – s , also …………………………………………………………(1)
s = 2 – x …………………………………………………………….....(1°)
und
y = g……………………………………………………………………(2)
Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke OHP und OAR folgt:
y : x = ( g + t ) : 2 ……………………………………………………..(3)
nun eliminieren wir g mit (2) ; wir erhalten
y / x = ( y + t ) / 2 , nach t aufgelöst:
t = ( 2 – x )* y / x ………………………………………………………(4)
Nach dem Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck OAQ gilt
t ^ 2 = s* ( 2 – s ) ………………………………………………………(5)
Wir ersetzen in (5) t gemäss (4) und s gemäss (1°) und erhalten
zunächst:
(2-x)^2 * y^2/x^2 = (2-x)*x
Ein Faktor (2-x) , ungleich null , hebt sich weg !
Es verbleibt die gewünschte Gleichung der Zissoide
y ^ 2 = x ^ 3 / (2 – x )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tim0
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 20:44: |
|
Kannst du mir nochmal :
"y : x = ( g + t ) : 2 " erklären?
ich versteh das nicht so ganz... |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 10:36: |
|
Hi,
Deine Zusatzfrage ist leicht zu beantworten.
Die beiden rechtwinkligen Dreiecke OHP und OAR sind ähnlich.
Daraus folgt die Gleichheit der Verhältnisse homologer Seiten:
HP : OH = AR : OA ; da OA = a = 2 ist und AR = AG + GR
= t + g gilt , folgt:
y : x = ( t + g ) : 2
Gruss
H.R.Moser,megamath |
Tim0
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 11:43: |
|
Hi Megamath,
Kannst du mir nochmal helfen?
1. Ist diese 1. Ableitung richtig:
3x² - x² / (2 - x)² * Wurzel[x³/ 2 - x]
2.Wie berechne ich den Knickwinkel?
DANKE |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 16:38: |
|
Hi Tim0,
Du kommst hintennach wie die alte Fasnacht !
Gleichwohl ergänzen wir das Dossier „Zissoide“ noch
durch die Herleitung der Ableitung und die Berechnung
des Knickwinkels.
Ausgangspunkt sei die Gleichung
y^2 = x^3 / (a-x)
Wir differenzieren implizit (rechts mit der Quotientenregel) nach x:
2 * y * y´= [(a-x)*3 x^2 + x^3] / ( a – x ) ^ 2 ,
2 * y * y´= [ 3 a * x ^ 2 – 2 x ^3 ] / ( a – x ) ^ 2; wir setzen noch a =1,
und lösen nach y´ auf , dabei entnehmen wir y durch Radizieren der
gegebenen Gleichung der Zissoide; die verschiedenen Vorzeichen für y
ergeben je einen Zweig der Kurve.
Du kannst das Resultat mit Deinem Ergebnis vergleichen.
Um den so genannten Knickwinkel zu ermitteln, berechnest Du
den Richtungswinkel omega der Tangente t
eines Zweiges mit dem Rückkehrpunkt O(0/0) als Berührungspunkt.
Da in der obigen Beziehung für y´ hier die unbestimmte
Form 0/0 entsteht, gehen wir anders vor.
Es gilt m = tan (omega ) = lim (y/x) für x strebt gegen null.
Aus der Gleichung der Zissoide entnehmen wir
q = y^2 / x^2 = x / ( a – x )
Der Grenzwert von q für x gegen null ist null,
d.h. der Zweig berührt die x -Achse in O.
Dein Eifer bezüglich der Zissoide soll belohnt werden.
Als Zugabe gebe ich Dir die Länge s des Bogens OP
der Zissoide mit der Polargleichung
r = 2*a*[sin (phi)]^2 / cos (phi)
Resultat ( mit W = wurzel(3) )
s = 2 a* [ wurzel{1+3 (cos(phi)^2)}/ cos(phi)
- 2 - W * ln {(W*cos(phi)+wurzel(1+3*(cos(phi)^2)))/(2+W)}]
Ich hoffe ,dass niemand darauf dringt, dass ich dieses Resultat hier vorrechne !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tim0
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 19:27: |
|
also erstmal zur ableitung. Dies ist meine erste
y^2 gleichung, deshalb weiß ich nicht was du auf der linken seite gemacht hast.
Und wieso aus y die Wurzel ziehen?
Nachdem ich nach y' aufgelöst habe, kriege ich:
y'= [3x^2 - 2x^3] / [2*y(1 - x)^2]
und dass soll ich einfach radizieren. dann bleibt links doch
wurzel[y']
oder? |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 07:22: |
|
Hi Tim0,
In meinem allerletzten Beitrag in dieser Sache berechne ich nochmals die Ableitung
y´ aus der impliziten Gleichung
y^2 = x^3 / (a-x) der Zissoide.
Vorbemerkung :
Die Ableitung von [y(x)] ^2 nach x lautet wegen der Kettenregel:
2* [y(x)] * y´(x) (implizite Differentiation !).
Somit gilt für die Zissoide :
2 * y * y´= [(a-x)*3 x^2 + x^3] / ( a – x ) ^ 2 vereinfacht :
2 * y * y´= [ 3 a * x ^ 2 – 2 x ^3 ] / ( a – x ) ^ 2 oder
2 * y * y´= x^2 [ 3 a – 2 x ] / ( a – x ) ^ 2 …………………………………………………(1)
Nun lösen wir die Zissoiden - Gleichung nach y auf (Zweig mit y>=0)
y= x*wurzel(x)/wurzel(a-x),eingesetzt in (1); Auflösung nach y´ gibt:
y´= [ x^2 * ( 3a – 2x ) wurzel (a – x ) ] / [2 wurzel(x)] oder :
y´= ½ * [ x *( 3a – 2x ) wurzel(x)* wurzel (a – x ) ]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Erkenntnis:
y ´(0) = 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Tim0
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 07:56: |
|
noch die letzte kleine (Verständnis-)frage:
"
y / x = ( y + t ) / 2 , nach t aufgelöst:
t = ( 2 – x )* y / x "
ich mache mal die einzlenen Schritte:
Mal 2:
2y/x = y+t
jetzt minus y:
2y-y / x = t
vereinfacht: y / x = t !!!
Wie kommst du auf t = ( 2 – x )* y / x ? |
Tim0
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 14:08: |
|
ach ja, noch was:
wenn ich bei der ableitung y einsetze, bekomme ich:
2x*Wurzel(x^3/[a-x]) * y' = [3ax^2-2x^3]/(a-x)^2
nach y' aufgelöst:
y'= [x^2(3a-2x)*Wurzel(a-x)] / [2x(a-x)^2*Wurzel(x)]
Wieso verschwindet bei dir (a-x)^2 im Nenner?
Bitte antworte mir, ich weiß dass ich nerve, aber es ist wichtig. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 21:25: |
|
Hi Timo ,
Bei der ausführlichen Berechnung der Ableitung y´(x) für die Zissoide
y^2 = x^3 / (a-x)
in meiner heutigen Arbeit hat sich gegen den Schluss tatsächlich ein
Fehler eingeschlichen und sich von Zeile zu Zeile behauptet.
Zum Glück hast Du es bemerkt, und eine Korrektur meinerseits wäre
überflüssig.
Der Ordnung halber folgt jedoch eine Berichtigung.
Gleichung (I)
2 * y * y´= x^2 [ 3 a – 2 x ] / ( a – x ) ^ 2 …………………………………………………(1)
ist noch richtig.
Die Auflösung nach y für die Zissoide, nämlich
y= x * wurzel(x) / wurzel(a-x) ist auch noch richtig.
Von jetzt an rechnen wir neu:
2*y´={[x^2 ( 3 a – 2 x )] / ( a – x ) ^ 2 } / {x * wurzel(x)/wurzel(a-x)}
= [x^2 ( 3 a – 2 x ) *wurzel(a-x) ] / [( a – x ) ^ 2 * x * wurzel(x) ]
= [wurzel(x) * ( 3 a – 2 x ) wurzel(a-x)] /[( a – x ) ^ 2]
Also
y´= ½ *[ (3 a – 2 x ) * wurzel(x) ] / (a – x ) ^(3/2).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Tim0
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 09:59: |
|
noch die letzte kleine (Verständnis-)frage:
"
y / x = ( y + t ) / 2 , nach t aufgelöst:
t = ( 2 – x )* y / x "
ich mache mal die einzlenen Schritte:
Mal 2:
2y/x = y+t
jetzt minus y:
2y-y / x = t
vereinfacht: y / x = t !!!
Wie kommst du auf t = ( 2 – x )* y / x ? |
|
