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Doo Doo (Wien)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 08:47: | 
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Hallo!
Ich muss folgende Lösung einer Aufgabe zeigen:
Aufg:
Die Parabel p: y=ax^2 + s rotiere um die x-Achse. Berechnen sie das Volumen des Rotationskörpers in den Grenzen -t und t.
Man erhält:
V= 2Pi t(at^2+s)^2 - 2Pi Integr(0-t) (ax^2 + s)^2 dx
und schliesslich
2 V = 2Pi (4/5 a^2*t^5 + 4/3 ast^3)
Der Flächeninhalt der rotierenden Fläche beträgt 4/3 at^3, es gilt also
V = 4/3 at^3 * 2 Pi * (3/5 at^2 + s)
"Mittelpunkt" P(0 | 3/5at^2 + s)
Danke für Deine/Eure Antwort(en)!!!! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 21:04: |
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Hi Doo Doo,
Im Sinne einer Vorbereitung setzen wir zunächst
s = 0 und betrachten die Parabel y = a x ^ 2 .
Die y-Achse ist Parabelachse , der Nullpunkt O
fällt mit dem Scheitel der Parabel zusammen.
Die Punkte A(t / a t ^ 2) , B(-t / a t ^ 2) auf der Parabel
bestimmen die zur x-Achse parallele Sehne AB,
welche mit dem Parabelbogen ,der den Scheitel O
enthält,ein Parabelsegment begrenzt.
Von diesem Segment bestimmen wir a) die Fläche F
und b) die Koordinaten xS , yS des Schwerpunktes S.
Das ist die Hauptarbeit des Unternehmens.
a)
Wir benützen eine bekannte Flächenformel für das Parabelsegment
F = 2/3 * B * H , „Breite B“ = 2 * t, „Höhe H“ = a * t ^ 2,
daraus(wie angegeben) :
F = 4 / 3 * a * t ^ 3
b)
Aus Symmetriegründen gilt : xS = 0
Mehr Aufwand benötigt die Berechnung der x-Koordinate xS
des Schwerpunkts.
Wir setzen ein Doppelintegral D ein , dann gilt:
y S = 1/F * D; für D kommt:
D = int [ int [ y * dy, y = a x ^ 2 .. a t ^ 2] * dx, x = - t .. t ] =
Das innere Integral gibt
½ * y ^ 2,untere Grenze a x ^ 2 obere Grenze a t ^ 2,somit
½* ( a^2*t^4 – a^2* x^4) ;nochmalige Integration nach x liefert :
D = 2* ½ (t^4- x^4), als untere Grenze für x nehmen wir x = 0,
als obere nach wie vor x = t, Dis isaus Symmetrigründen zulässig,
wenn wir ganz vorne mit dem Faktor 2 austarieren.
Endgültig:
D = 4/5 * a^2* t^5 , damit
yS = 1/ F * D = 3/5 a t^2 ( wie angegeben)
Nun wenden wir uns der Gleichung y = a x^2 +s mit s > 0 zu..
Die y-Achse ist nach wie vor Symmetrieachse der Parabel, und der
Punkt (0 / s) ist der Scheitelpunkt.
Die Parabel und damit auch das Parabelsegment ist um die Strecke s
in Richtung der +y -Achse verschoben.
Die Fläche F des Segments ist unverändert, die y Koordinate yS des
Schwerpuktes S ist jetzt
yS = 3/5 a t ^ 2 + s
Esi st nun an der Zeit, die Rotation des Parabelsegmentes um
die x-Achse in Gang zu setzen und das Volumen V des Rotationskörpers
mit Guldin zu berechnen:
V = L * F,
L ist die Länge des Weges von S bei der Rotation um die x-Achse , lalso
L = 2 * Pi *yS = 2 * Pi* (3/5 a t^2 + s )=
F die Fläche des Segments.
Somit kommt als Schlussresultat
V = 2 * Pi * (3/5 a t ^ 2 + s ) * 4/3 a * t ^ 3 =
V = 2 * Pi * ( 4/5 a ^ 2 * t ^ 5 + 4/3 s * a * t ^ 3 )
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MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. Januar, 2002 - 08:53: |
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Hi Doo Doo,
Eine kleine Ergänzung:
Im Spezialfall s = 0 können wir das zugehörige Volumen direkt in einer
kleinen Rechnung ermitteln.
Wir stellen Vo als Differenz eines Zylindervolumens Z und eines
Integrals für ein leicht zu identifizierendes Rotationsvolumens U dar.
Daten des Zylinders :Radius R = a t^2 , Höhe H = 2t,daher
Z = Pi * R^2 *H = 2 * Pi * a^2 * t ^ 5.
U = Pi * int [y^2*dx ] = Pi* int[ a^2 * x^4 * dx ] ,
untere Grenze – t , obere Grenze t ,somit aus
Symmetriegründen auch
U =2*Pi * int [ a^2* x^4 * dx ] mit unterer Grenze NULL,
oberer Grenze t
Ergebnis: U = 2/5 * Pi * a^2 * t^5, mithin
Vo = Z – U = 8/5*Pi*a^2*t^5,
ein Resultat, welches auch mit der Hauptformel für s = 0 entsteht.
Bravo !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
Auch Grüsse an die Freunde der Zahl Pi in Wien ! |
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