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systa
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 17:11: | 
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Hi Leute,kann mir einer helfen?
In einem gleichseitigem Dreieck mit der Seitenlänge a liegt ein Rechteck. Für welche Seitenlängen x und y wird der Flächeninhalt maximal?
Habe leider gar keine Ahnung, wie ich das rechnen soll... |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Januar, 2002 - 19:20: |
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Hallo!
Naja, sooo schwierig ist sie nun auch wieder nicht...
Also mach Dir am besten mal eine Zeichnung: Zeichne das gleichseitige Dreieck; alle Seiten haben die Länge a, die gegeben ist. Nun zeichne das Rechteck hinein. Die Seite, die mit der Grundseite zusammenfällt, habe ich bei der folgenden Rechnung y genannt, die andere x. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist A.
Extremalbedingung:
A(x,y) = x*y
Die Fläche hängt also von zwei Unbekannten ab. Du benötigst eine Nebenbedingung, damit eine der Variablen durch einen Ausdruck aus bekannten Größen und der anderen Variable ersetzt werden kann. Du brauchst also einen geometrischen Zusammenhang:
Betrachte dazu eine der Seiten, auf der die Seite y des Rechtecks nicht liegt. Sie wird in zwei Teile geteilt durch den Berührpunkt mit dem Rechteck. Man sieht, dass der eine Teil auch den Wert y haben muss, da mit der Rechteckseite y wieder ein gleichseitiges Dreieck existiert. Der andere Teil (ich nenne ihn z) lässt sich als Hypotenuse des kleinen rechtwinkligen Dreiecks berechnen:
z = Wurzel{x² + [(a-y)/2]²}
Daraus folgt nun für a:
a = y+z = y + Wurzel{x² + [(a-y)/2]²}
umgestellt nach x:
x = +/- Wurzel{3}/2 * (a-y)
Es kann nur die positive Lösung benutzt werden, da a > y und x > 0 gilt.
Der Ausdruck für x wird nun in die Extremalbedingung eingesetzt und Du erhälst die Fläche des Rechtecks nur in Abhängigkeit von y:
A(y) = Wurzel{3}/2 * (a-y) * y
A(y) = -Wurzel{3}/2 * y² + Wurzel{3}*a/2 * y
Nun kann das Maximum dieser Funktion gesucht werden:
A'(y) = -Wurzel{3} * y + Wurzel{3}*a/2
A''(y)= -Wurzel{3}
Ableitung muss Null sein (waagerechte Tangente):
0 = -Wurzel{3} * y + Wurzel{3}*a/2
=> ymax = a/2
Kontrolle durch A''(y) bestätigt ein Maximum.
Dieser Wert wird nun in die Nebenbedingung eingesetzt, um die andere Seite auszurechnen:
xmax = Wurzel{3}/2 * (a-a/2) = Wurzel{3}*a/4
Ich hoffe, Du hast alles verstanden!
MfG, Integralgott |
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