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hey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 10:42: | 
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wendetangente?
wie bestimmt die tangente im wendepunkt?
in einem buch steht folgende formel:
P(x0/f(x0))
t(x) =f'(x0)(x-x0) + f(x0)
mir ist klar, dass der wendepunkt gleich dem schnittpkt von der tangente und der kurve ist.
y=mx+b tangent
f(x) = kurve
theoretisch könnte man den pukt p in die tangentengleichung einsetzen:
f(x0)=mx0 +b
dasselbe gilt für die kurve:
f(x0)=kurve
setzt man gleich, erhält man aber eine wagerechte tangent, weil nur noch die variable x übrigbleibt....
bitte helft mir!! =)
danke |
Justin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 13:19: |
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hey auch,
die Wendetangente ist die Gerade, die den Anstieg einer Funktion an ihrem Wendepunkt beschreibt.
Dazu muss man natürlich erst einmal wissen, wo sich ein solcher Wendepunkt überhaupt befindet.
Finden tut man diese, indem man die zweite Ableitung einer Funktion gleich NULL setzt und den entsprechenden x-Wert berechnet. Mit Hilfe der dritten Ableitung kann man dann überprüfen, ob der x-Wert auch wirklich eine Wendepunkt ist, der Funktionswert der dritten Ableitung für x muss dann ungleich NULL sein.
Mathematisch ausgedrückt:
(x0;f(x0)) ist ein Wendepunkt wenn gilt:
notwendige Bedingung: f''(x0) = 0
hinreichende Bedingung: f'''(x0) <> 0
Hat man nun so einen Wendepunkt gefunden, berechnet man nun zunächst den Anstieg, den die Funktion an diesem Punkt hat. Und das tut man mit Hilfe der ersten Ableitung.
Die Wendetangente hat ja nun die Form
t(x) = mx + n
Anstieg im Wendepunkt = f'(x0)
für das m kann nun f'(x0) eingesetzt werden.
t(x) = f'(x0)*x + n
Fehlt noch der Wert n.
n ist der Wert, um den die Tangente entlang der Y-Achse verschoben ist.
n = f(x0) - f'(x0)*x0
Also:
t(x) = f'(x0)*x + (f(x0)-f'(x0)*x0)
Vielleicht hilft Dir ja diese Herleitung etwas mehr :-)
Schönen Tag noch
Justin |
hey
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 23:59: |
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das "n" ist mir nicht klar. kannst du vielleicht versuchen, es noch mal näher zu beschreiben, wie man darauf kommt?
danke |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 10:41: |
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Nun gut,
das "n" in der Gleichung
t(x) = m*x + n
ist ja die Verschiebung der Geraden entlang der Y-Achse.
Wenn Du mindestens einen Punkt der Geraden und m gegeben hast, kann man n ermitteln.
Der Wendepunkt in der Aufgabe hat ja die Koordinaten (x0;f(x0)) und muss ja zugleich Teil der Wendetangente sein.
Ist m bekannt, setzt man dieses in die Gleichung für die Geraden ein und berechnet den Funktionswert für x0.
Wenn der Wendepunkt also die Koordinaten (x0;m*x0) hat, dann liegt keine Verschiebung entlang der Y-Achse vor. In dem Falle ist n=0.
Wenn aber die Koordinaten des Punktes nicht mit m*x0 übereinstimmen, dann liegt eine Verschiebung vor.
Und den Wert dieser Verschiebung erhält man, indem man von f(x0) des Punktes den Wert m*x0 subtrahiert.
Daher:
n = f(x0) - f'(x0)*x0
Verstanden? Oder ist noch ein Versuch notwendig? :-)
Justin |
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