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Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 22:49: | 
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Hallo zusammen!
Mal wieder stehe ich vor einem Problem und weiß nicht weiter.
Berechnen Sie die Bogenlänge und die Fläche unter der in Parameterdarstellung gegebenen Funktion:
x= a(t-sin(t))
y= a(1-cos (t))
in den Grenzen von Null bis 2*PI.
Dass es sich hier um eine Zykloide handelt, ist offensichtlich, doch leider bin ich nicht imstande das Itegral für diese Funktion zu berechnen.Mein Ansatz sah für die Bogenlänge wie folgt aus:
S= ò0 2p sqrt((a-a*cos(t))^2+ a^2*sin^2(t)) dt
Aus entsprechenden Formelsammlungen habe ich als Ergebnis 8*a gefunden, doch leider bin ich an der Rechnung gescheitert. Es wäre toll, wenn mir jemand den Rechenweg für Bogenlänge und Fläche aufzeigen könnte. Es würde mir bei meinen Klausurvorbereitungen echt weiterhelfen.
Vielen Dank schon im Voraus.
MfG
Martin |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 07:35: |
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Hi Martin,
a)
Der Flächeninhalt F(2*Pi) unter einem vollen Zykloidenbogen ist
F(2*Pi) = 3 * Pi * a^2
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Herleitung
Aus x = a * (t – sin t) erhalten wir durch Ableiten das Differential
dx = a* (1-cos t ) *dt, daher für die Teilfläche F(t) mit
unterer Grenze 0 , oberer Grenze t das bestimmte Integral
F(t) = int [y * dx ] = a^2 * int [( 1 - cos t ) ^ 2 * dt ] =
a ^2 * int [ { 1 – 2 * cos t + ( cos t ) ^ 2 }* dt ] in den genannten Grenzen.
Zerlegung in drei einzelne Integrale, deren Lösungen auf der Hand oder
in Tabellen liegen:
F(t) = a ^2 * [ t – 2 * sin t + ½ {t + sin t * cos t }] in den genannten Grenzen
Setzt man diese ein, so kommt
F(t) = ½ * a ^ 2 * [ 3 * t – 4 * sin t + sin t * cos t ]
Für t = 2*Pi ergibt sich das eingangs erwähnte Resultat.
b)
Die Bogenlänge der Zykloide
Vorbereitung : Berechnung des Bogenelementes ds
(ds)^2 =(dx)^2+(dy)^2 = a ^ 2 * [(1- cos t ) ^ 2 + (sin t) ^ 2] * (dt)^2,
daraus
(ds)^2 = a^2 * [2 – 2 * cos t ]* (dt)^2 = 2*a^2 * 2* (sin ½ t)^2* (dt)^2 ,also
ds = 2 a * (sin( ½ t) * dt.
Der Zykloidenbogen b(t) von einer Spitze aus gerechnet
(untere Grenze null, obere Grenze t im bestimmten Integral) ist:
b(t) = 2* a * int [sin (½ t) * dt] =
- 4 * a * cos( ½ * t ) in den genannten Grenzen, also
b(t) = 4 a [1 – cos ( ½ * t) ].
Als Länge eines vollen Bogensbekommen wir damit :
B = 8 * a
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Anmerkung
1.)
Wir haben unter b) die Halbwinkelformel 2 * {sin( ½ t)}^2 = 1 – cos t
benützt.
2)
Historisches: erstmals wurde die Bogenlänge der Zykloide von
Christoph Wren (1632-1723) berechnet !
Die Reihe der Zykloidenrechner dürfte ziemlich lang sein !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 08:45: |
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Hi Martin,
Als Uebungsaufgabe zur Zykloide möchte ich Dir
empfehlen, die so genannte natürliche Gleichung der
Kurve herzuleiten.
Unter der natürlichen Gleichung (équation essentielle)
einer Kurve versteht man die Beziehung zwischen dem
Krümmungsradius rho und der von einem bestimmten Punkt
aus gemessenen Bogenlänge s .
Diese Gleichung ist naturgemäss unabhängig von
der Wahl des Koordinatensystems.
Im vorliegenden Fall der Zykloide erhalten wir:
s ^ 2 + ( rho ) ^ 2 = 16 * a ^ 2
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Herleitung
s erhalten wir als unbestimmtes Integral:
s = 2a * int [ sin ( ½ * t) * dt ] = - 4 * a * cos( ½ * t )
(siehe in der vorhergehenden Arbeit nach !)
Berechne rho aus den ersten und zweiten Ableitungen von x(t),y(t):
rho = [(x `) ^ 2 + (y `) ^ 2 ] ^ (3/2) / [ x ` * y `` - x`` * y` ]
= - 4 * a * sin ( ½ * t )
Die Quadratsumme ergibt tatsächlich 16 * a ^ 2 .
Als eine weiter Uebungsaufgabe zur Zykloide möchte ich Dir
empfehlen, das Volumen V desjenigen Körpers zu berechnen,
der durch Rotation eines Zykloidenbogens ( t = 0 bis t = 2*Pi )
um die x-Achse entsteht.
Resultat:
V = 5 * (Pi) ^ 2 * a ^ 3
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 09:49: |
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An H.R.Moser,megamath. und alle anderen Moderatoren!
Vielen, vielen herzlichen Dank. Mit einer Anwort hatte ich ja gerechnet, doch die Erläuterungen zu der obigen Aufgabe übertreffen meine Erwartungen um ein Vielfaches. Ohne dieses Matheboard und die Hilfe derjenigen, die sich engagieren anderen die Wissenslücken in Mathematik zu füllen, würden meine Aussichten für die morgige Prüfung bedeutend schlechter aussehen. Ich möchte meinen Dank wiederholen und zum Ausdruck bringen, wie sehr ich die Arbeit der Moderatoren respektiere.
Mit freundlichen Grüßen
Martin |
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