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Doo Doo (Wien)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 16:25: | 
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Hallo,
das hat zwar nicht direkt etwas mit der Guldinregel zu tun, dient aber deren Herleitung:
Wie zeige ich, dass das Rotationsvolumen eines Quadrates v=2Pi*h*a
ist
(a: Seitenlänge des Qu.; h: Abstand des Mittelpunktes von der x-Achse)
Ciao, Wien |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Januar, 2002 - 09:26: |
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Hi Doo Doo,
Das von Dir angegebene Volumen enthält einen Dimensionsfehler.
Richtig muss stehen:
V = 2 Pi h a^2
°°°°°°°°°°°°°°
Wir beginnen von vorn.
Die Seiten AB und DC eines Quadrates der Seitenlänge a sind
parallel zur x-Achse im Abstand h + ½ a und h – ½ a,
wobei h > = ½ a der Abstand des Mittelpunktes M von der
x-Achse ist.
Bei der Rotation um die x-Achse beschreiben die Strecken
AB und DC je einen Zylindermantel. Der Höhe a
Die entsprechenden Radien der Zylinder sind
R= h + ½ a und r = h – ½ a ; die zugehörigen Volumina der Zylinder
seien mit V1 und V2 bezeichnet.
Das gesuchte Volumen V ist dann die Differenz dieser
Zylindervolumina, also:
V = V1 – V2 = Pi*R^2 * a – Pi * r^2 * a = Pi*a*(R^2 – r^2)
Die Differenz in der Klammer ist 2 a h !
(ein doppeltes „AHA-Erlebnis“ !)
Ergebnis: V = 2*Pi *a^2 *h ,wie angekündigt
Das gleiche Ergebnis erhält man mit Guldin:
Länge L des Weges des Schwerpunktes M bei Rotation um die x-Achse:
L = 2* Pi *h
Inhalt der erzeugenden Fläche F
F = a^2 (Quadratfläche)
V = L * F , wie oben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Doo Doo (Wien)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Januar, 2002 - 08:12: |
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Vielen Dank!!!!!!!!! |
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