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Tine
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. Januar, 2002 - 13:34: | 
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HI
ich bräuchte mal dringend Hilfe bei einer e- funktion
f(x)=2*e^x/(1+e^2x)
ich soll zeigen das
1) f symmetrisch zur y-Achse is
2)Monotoniebereich
3)ohne rechnung begründen:f hat mindestens zwei wendepunkte
4)fläche zwischen f und der x-Achse
Wenn mir jemand helfen könnte würd ich mich total freuen
Tine |
Peter
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 16:42: |
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1) Symmetrie : zu zeigen f(x)=f(-x) für alle x
f(-x)=(2e^(-x))/(1+e^(-2x)) // e^(-2x) im Nenner ausklammern:
=(2e^(-x))/(e^(-2x)(e^(2x)+1) Potenzgesetz
=(2e^x)/(e^(2x)+1) = f(x)
2) Dafür benötigt man die Ableitung
Nach Quotinetenregel:
f'(x)= [2e^x(1+e^(2x))-2e^x*2e^(2x)]/(1+e^(2x))^2
=[2e^x(1+e^(2x)-2e^(2x))]/(1+e^(2x))^2
=(2e^x(1-e^(2x)))/(1+e^(2x))^2
Der Faktor 2e^x im Zähler, so wie der Nenner sind immer gößer Null, bleibt nur die Klammer (1-e^(2x))zu untersuchen:
Monoton steigend für:
1-e^(2x)>0
1>e^(2x) // ln( )
0>2x
0>x
Der Graph steigt also monoton für x < 0 und fällt für x>0 => Maximum bei (0/2)
3)f hat keine Nullstellen, der Graph läuft für x gegen +-inf gegen Null. Ohne Wendepunkte könnte der Graph aber nicht gegen die x-Achse laufen, sondern würde sie schneiden.
4)Integral von -inf bis +inf über f(x) dx
Es reicht, aufgrund der Symmetrie das Integral von bis unendlich zu berechnen und den Wert dann zu verdoppeln
eine Stammfunktion findet sich über Substitution
z:= e^x
dz/dx= e^x
F(x)=Integral 2/(1+z^2) dz= arctan z = 2arctan (e^x))
lim für x gegen inf von 2 arctan (e^x) = pi
Flächeninhalt ist also 2pi
Gruß
Peter |
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