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Herbert Smetaczek (Marioza)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 13:27: | 
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HI ich stehe hier vor folgender aufgabe:
Berechne Integral von sin²x dx und ermitteln sie damit A Ellipse = a*b*PI
wer kann mir dabei weiterhelfen wäre sehr wichtig für mich.
herbert |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 14:45: |
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Hallo Herbert,
deine Aufgabe ist interessant, ich möchte Dir hier meinen Lösungsweg aufzeigen:
Zunächst einmal zur Berechnung von Integral sin²(x)dx. Aufgrund der Beziehung
cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)= 1/2 - 2sin²(x)
können wir auch schreiben sin²(x) = 1/2 - (1/2)cos(2x)
was sich im Ganzen leichter integrieren läßt.
Wir finden also für das Integral dann
Int sin²(x) dx = (1/2)*x - (1/4)sin(2x) (I)
Soweit dazu. Die Fläche der Ellipse sei A = abp. Dies zeigen wir durch Integration.
Die Mittelpunktsgleichung einer Ellipse lautet
x²/a² + y²/b² = 1 ; lösen wir nach y² bzw. y auf, so erhalten wir
y = b*Wurzel (1 - x²/a²). a sei die (positive) Nullstelle der Funktion. Aus Symmetriegründen genügt es, nur von 0 bis a zu integrieren und später mit dem Faktor 4 zu multiplizieren, da die Mittelpunktsellipse in vier solcher Flächen aufgeteilt werden kann. Also konkret:
A = 4*b Integral Wurzel(1 - x²/a²) dx (II)
Wir setzen x = a cos u und leiten beidseits ab:
dx = -a sin u du. Beides in (II) eingesetzt ergibt (nachrechnen!)
A = -4ab Integral Wurzel (1- cos²u) sin u du
und wegen 1 - cos²u = sin² u erhalten wir
A = -4ab Integral sin² u du.
Dieses Integral haben wir oben schon bestimmt und brauchen dieses nur noch ganz entspannt einsetzen, jedoch mit u anstatt x als Variable!
A = -4ab [1/2 u - (1/4)sin(2u)]
Unsere Integrationsgrenzen haben wir oben schon mit x = a und x = 0 definiert. Entweder führen wir eine Rücksubstitution durch, also führen wieder x als Variable ein, oder wir transformieren die Grenzen a und 0 zu "u"-Grenzen. Letzteres ist eine angehmere Alternative. Los gehts:
x = a <=> a = a cos (u) => u = 0
x = 0 <=> 0 = a cos (u) => u = p/2
Folglich finden wir nun
A = -4ab [0 - 0 - ( p/4 - 0)] = pab
was zu zeigen war.
Ich hoffe, das Du alles nachvollziehen konntest, sollten sich noch Fragen ergeben kontaktiere mich auf dieser Seite oder per email!!!
Viele Grüße
 Oliver |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 14:49: |
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Hi Herbert,
es hat sich ein kleiner Tippfehler eingeschlichen:
Statt
cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)= 1/2 - 2sin²(x
heißt es richtig
cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)= 1 - 2sin²(x)
Weiterhin viel Spaß beim Nachrechnen!
Oliver |
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