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Katharina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 14:47: | 
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Hy Ihr Matheprofis
wär total super wenn mir jemand folgende Aufgabe erklären könnte???
f (x) = 1/9 x^4 - 8/9 x^3 + 2x^2
Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen Gf und der waagrechten Wendetangente von Gf ! |
lars
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 20:56: |
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Hi Katharina,
als erstes solltest du dir immer erst mal die funktion zeichnen!!
wenn eine Funktion eine waagerechte Wendetangente hat, nennt man diesen Punkt Sattelpunkt, das bedeutet die 1. und 2. Ableitung sind 0.
f'(x)=4/9 x^3 - 8/3 x^2 + 4x
f''(x) = 4/3 x^2 - 16/3x + 4
jetzt zahlt es sich aus die Funktion gezeichnet zu haben:
dann setzt du die 2. Ableitung =0(kannst auch die erste nehmen, wird aber nur umständlich)
und rechnest über die quadratische Gleichung die Wendepunkte aus (x1=1 und x2=3) und wenn du jetzt in deine Zeichung der Funktion schaust siehst du sofort, dass nur x2 die Lösung ist wo die Wendetangente horizontal ist, ansonsten müsstest du die x-Werte in f' einsetzen und schauen welcher 0 als Funktionswert liefert.
ok jetzt weist du, dass x=3 die Stelle des Sattelpunktes ist und gleichzeitig deine rechte Integrationsgrenze.
Jetzt brauchst du noch die linke Integrationsgrenze!!
also rechnest du den Funtionswert für x=3 aus der ist y=3(das ist auch gleichzeitig deine Tangentenfunktion) und jetzt setzt du einfach f(x) und y gleich:
3=1/9 x^4 - 8/9 x^3 + 2x^2
jetzt kannst du versuchen die Gleichung zu lösen oder du schaust wieder in deine Zeichnung und siehst, dass x=-1 ziemlich "verdächtig" ist und tatsächlich x=-1 löst die gleichung und ist damit deine linke Integrationsgrenze!!
und damit bist du fast fertig:
musst nur noch
Integral(von -1 bis 3)(y-f(x))dx ausrechnen
= Integral(von -1 bis 3)(3- (1/9 x^4 - 8/9 x^3 + 2x^2))dx
und wenn ich mich nicht vertan habe ist das
etwa 5,69
mfg, Lars |
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