| Autor |
Beitrag |
    
Mirelle
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 13:49: | 
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Hallo,
Die folgende Aufgabe widersteht allen meinen Lösungsversuchen
Kann mir jemand helfen ? Besten Dank im voraus !
Man zeige , dass die Gleichung
9 x^2 – 24 xy + 16 y^2 –140 x + 20 y + 1200 = 0
eine Parabel darstellt
a) Welche Tangenten verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen ?
b) Man berechne die Koordinaten des Scheitels und den Parameter der Parabel.
LG
Mirelle |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 17:33: |
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Hi Mirelle,
Im Folgenden zeige ich Dir in aller Ausführlichkeit, was Du schon
immer über Parabeln in allgemeiner Lage wissen wolltest.
I.
Zu den Koeffizienten in der Parabelgleichung
Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts lautet:
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0
Für Dein Beispiel gilt :
A = 9 , B = - 12 , C = 16 , D = - 70 , E = 10, F = 1200.
II
Ueber die Art des Kegelschnitts gibt die Determinante
Delta =A * C – B ^ 2 Auskunft; im vorliegenden Fall gilt
Delta = 0; somit liegt eine Parabel vor.
III.
Achsenrichtung; der Richtungswinkel der Achse a sei phi;
Daraus bekommt man die Steigung m der Parabelachse:
m = tan(phi) ;
Erste Methode mit der Formel tan(2* phi) = 2*B/(A-C) = 24/7
Daraus berechnet man mit Hilfe der Goniometrie
tan(phi) = ¾ = m
Zweite Methode.
Wenn bei einer Hyperbel nach den Steigungen m1,m2 der
Asymptoten gefragt wird, löst man die Gleichung
A + B * m + C * m ^ 2 = 0 , Lösungen m1,m2.
Diese Formel gilt auch für den Grenzfall der Parabel;
wir bekommen eine quadratische Gleichung mit
Doppellösung m, nämlich:
9 – 24 m +16 m^2 = 0 oder (3 – 4 m )^2 = 0, daraus wiederum
m = ¾.
IV
Implizite Differentiation der Parabelgleichung.
18 x – 24 y – 24 x y` + 32 y y` - 140 + 20 y ` = 0 , daraus :
y ` = - [9x – 12 y - 70) / [- 12 x + 16 y + 10 ]
Scheiteltangente, Achse und Scheitel
Wir suchen nun die Scheiteltangente s ; ihr Berührungspunkt
ist der Scheitel S der Parabel.
Die Steigung n von s ergibt sich aus der Steigung m von a :
Aus m * n = - 1 folgt n = - 4/3 als Steigung der Scheiteltangente s.
Wir setze diesen Wert für n an die Stelle von y` ein; es entsteht
nach einer Vereinfachung eine Gleichung in x , y, nämlich:
3 x – 4y = 10.
Diese Gleichung stellt gerade die Achse der Parabel dar und
schneidet diese im Scheitel S ;wir erhalten durch Einsetzen
xS=10, yS = 5 , also S(10/5).
V
Um die zur x- Achse parallele Tangente (es gibt genau eine solche)
zu ermitteln, setzen wir in der Relation die Ableitung y` null,
d.h. es ist der Zähler gleich null, somit 9x – 12 y – 70 = 0
Setzen wir x = (70 +12 y ) / 9 in die Parabelgleichung ein und
lösen nach y auf; es entsteht der Reihe nach:
y = 59 /15 = 3,933.., x = 13,922.
Dies sind die Koordinaten des Berührpunktes U der zur x-Achse
parallelen Tangente u.
Diese selbst hat die Gleichung y = -59 /15 .
Um die zur y- Achse parallele Tangente (es gibt genau eine solche)
zu ermitteln, setzen wir in der Relation 1/ y` null,
d.h. es ist der Nenner gleich null, somit – 6 x + 8 y + 5 = 0
Setzen wir y = ( 6 x - 5) / 8 in die Parabelgleichung ein und
lösen nach x auf; es entsteht der Reihe nach:
x = 191/20 = 9,55, y = 6,5375
Dies sind die Koordinaten des Berührpunktes V der zur y-Achse
parallelen Tangente v.
Diese selbst hat die Gleichung x = 191/ 20.
VI
Ermittlung der Leitgerade oder Direktrix l der Parabel.
Diese geht durch den Schnittpunkt L der oben ermittelten
Tangenten u und v , welche als Parallelen zu den Koordinatenachsen
aufeinander senkrecht stehen und sich somit notgedrungen auf der
Leitgeraden schneiden müssen.
Da die Leitgerade parallel zur Scheiteltangente verläuft, liegt ihre
Gleichung auf der Hand; sie lautet:
4x + 3y = 50 (Kontrolle: L (191/20 ; 59/15) liegt auf l )
Normalform von l:
[4x + 3 y – 50] / wurzel(4^2+3^2) = 0, also
(4 x + 3 y - 50 ) / 5 = 0
Mit Hilfe dieser Hesseschen Form berechnen wir den Abstand d
des Scheitels S(10/5) von der Leutegeraden .
d = (4 * 10 + 3 * 5 - 50) / 5 = 1
Nun gilt aber
d = p/2; wir erhalten somit für den Parameter p den Wert
p = 2
°°°°°
In einem Schlussteil werde ich demnächst dasselbe Resultat mit Hilfe
der Matrizenrechnung herleiten und die Angelegenheit zu einem
krönenden Abschluss bringen.
Bis dann !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Januar, 2002 - 20:09: |
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Hi Mirelle,
Die Analyse der vorgelegten Parabel kann auch mit Hilfe der
Matrizenrechnung bewältigt werden.
Bei den folgenden Ausführungen verwende ich die Schreibweise für
Matrizen, wie sie beim Umgang mit dem Maple-System verwendet wird.
Du erkennst das Nötige von Fall zu Fall.
Zuerst schreiben wir die gegebene Gleichung in x und y in
geeigneter Matrixform.
Mit den gegebenen Koeffizienten stellen wir die (3,3)-Matrix her:
A:=matrix(3,3,[9,-12.-70],[-12,16,10],[-70,10,1200]]),
u ist der Zeilenvektor,d.h. die (1,3)-Matrix
u:=matrix(1,3,[[x,y,1]]) , v die dazu transponierte Matrix, ein Spaltenvektor
d.h. eine (1,3)-Matrix:
v:= transpose(u) = matrix(3,1,[[x],[y],[1]])
Die Gleichung der Parabel kann dann durch Nullsetzen des Produkts K
mit den Faktoren u, A, v dargestellt werden.
Mit dem Multiplikationszeichen &* schreibt sich dies so:
K = u &* A & * v = 0 , bitte nachprüfen !
Nun stellen wir die nötige Transformation in Matrixform mittels
einer (3,3) – Matrix C dar .
(es handelt sich dabei um eine Drehung , Drehwinkel phi mit
cos(phi) = 4/5, sin(phi) = 3/5 mit anschliessender Translation
auf den Scheitel S(10/5) ).
Die alten Koordinaten werden mit x und y die neuen mit X,Y bezeichnet.
Daher führen wir sofort noch den Zeilenvektoren U und den
Spaltenvektor V ein:
U ist der Zeilenvektor,d.h. die (1,3)-Matrix
U:=matrix(1,3,[[X,Y,1]]) , V die dazu transponierte Matrix, ein Spaltenvektor
d.h. eine (1,3)-Matrix:
V:= transpose(U) = matrix(3,1,[[X],[Y],[1]]) .
Nun zur entscheidenden Transformationsmatrix C ,welche so aussieht :
C:=matrix(3,3 [[4/5,-3/5,10],[3/5,4/5,5],[0,0,1]])
Die Elemente c11 , c12, c21, c22 ergeben sich aus der Drehung;
sie stellen der Reihe nach cos (phi), - sin(phi) , sin(phi) , cos(phi) dar.
Der Saum am unteren Rand ist 0 , 0 , 1 , der Saum am rechten Rand
beginnt mit den Koordinaten 10 und 5 von S und endet mit der Eins von
vorhin.
Die Gleichung K* = 0 des Kegelschnitt im neuen XY-System ergibt sich
durch Nullsetzen eines Produkts K* aus vier Faktoren
U, transpose (C ) , A , C , V ; setzen wir für die Transponierte von C die
Bezeichnung T , so gilt also:
W* = U & * T & * A & * C & * V = 0
Wir berechnen W* schrittweise :
T:=matrix(3,3,[4/5,3/5,0],[-3/5,4/5,0],[10,5,1]])
P = A & * C = matrix([72/5,-21/5,-40],[-96/5,28/5,-30],[-62,-34,550]])
Q = T &* P = matrix([0,0,-50],[0,25,0],[-50,0,0]])
Schliesslich
W* = U & * Q & * V = matrix([[-100 * X + 25 * Y ^ 2]])
Die Gleichung der Parabel im (X,Y)-System lautst also
25 * Y^2 - 100 * X = 0 oder:
Y^2 = 4 * X
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Wir lesen den Parameter p der Parabel ab :
4 = 2 * p, daraus p = 2 , wie vormals !
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Wer sich für die Abbildungsgleichungen interessiert, berechnet noch:
v - C & * V; Ergebnis: (durch Nullsetzen)
x-4/5*X+3/5*Y-10 = 0
y-3/5*X- 4/5*Y- 5 = 0
0 = 0
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Damit ist mit diesem Thema Schluss !
Anmerkung
Druckfehler werden keine korrigiert; sie sind zum
Nachdenken da !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mirelle
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Januar, 2002 - 12:34: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Besten Dank für deine ausführliche und sehr lehrreiche Arbeit!
LG
Mirelle |
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