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h.perina (Shiva)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 22:14: | 
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Aufgabenstellung:
Es sei x Element von N. Gezeigt werden soll, dass der ggT der Zahlen n-1 und n^2+n+1
entweder = 1 oder = 3 ist.
(Anm: (n^2 = n hoch 2)
Ich bitte um Lösungshinweise.
Danke. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 13:08: |
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Es ist ja
n² + n + 1 = (n -1)(n + 2) + 3.
Da d := ggT(...) ein Teiler von n² + n + 1 und von n -1 ist, etwa n² + n + 1 = ad und n -1 = bd, gilt
3
= n² + n + 1 - (n -1)(n + 2)
= ad - bd(n + 2)
= d(a - b(n + 2))
Also ist 3 ein Vielfaches von d und somit d=1 oder d=3. |
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