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Parabelschar und Ortskurve

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Simone
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 17:45:   Beitrag drucken

Hallo,

ich habe ein neues Problem, dieses Mal mit einer Parabelschar.
Darf ich um Hilfe bitten ?

Die Aufgabe lautet :
Die Gleichung y ^ 2 = 2 p x - 4 p y beschreibt eine Parabelschar.
Der Scharparameter ist eine von null verschiedene reelle Zahl.
a) man beweise, dass sich alle Parabeln der Schar im Nullpunkt berühren
Welches ist die Gleichung der gemeinsamen Tangente ?
b) Man ermittle die Gleichung der Ortskurve der Berührungspunkte aller
Tangenten an die Scharkurven, welche eine vorgegebene Steigung m haben.
Welcher Wert für m ist dabei auszuschliessen ?

MfG
Simone
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 21:02:   Beitrag drucken

Hi Simone,

Wir differenzieren die Gleichung der Parabelschar implizit und erhalten:
2 y y` =2 p – 4 p y ` ,
daraus: y` = p / ( y +2 p )
a)
Für den Nullpunkt O gilt x = y = 0, damit kommt für die Ableitunng y `(0)
d.h. für die Steigung mo der Kurve in O:
mo = ½, unabhängig vom Parameter p.
Die Gleichung der gemeinsamen Tangente lautet somit:
y= ½ x
°°°°°°°

b)
Der Berührungspunkt P1 habe die Koordinaten x = x1 , y =y1
Wir setzen y`(x1) = m ; somit gilt:
p / (y1 + 2 p ) = m oder p =m* y1 / ( 1 – 2 m )…………….(I)
Damit der Nenner von null verschieden ist, setzen wir voraus :
m ungleich ½
°°°°°°°°°°°°°°
Den Wert für p aus (I) setzen wir in die Gleichung
y1^ 2 = 2 p ( x1 – 2 y1 ) ein ,die aus der Gleichung der Schar dadurch
entsteht, dass P1(x1/y1) auf der Kurve liegt.
Wir erhalten nach kurzer Rechnung:
y1 = 2m ( x1- 2 y 1) / (1 – 2m ), vereinfacht:
y1 = 2 m / (1+2 m ) * x1
(wir dürfen den Index 1 nachträglich auch weglassen !)
Gleichung der Ortskurve endgültig:
y = 2 m / (1+2 m ) * x
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die gesuchte Ortskurve ist eine Gerade durch O, eine Ursprungsgerade.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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