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ich
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 13:47: | 
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Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
Die Länge soll nicht größer als 200 cm sein.
Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll 360 cm groß sein.
a) Welche Ausmaße hat das Paket mit dem größten Volumen?
b) Wie groß ost das maximale Volumen? |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 09:28: |
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Hallo du,
grundsätzlich gilt für quaderförmige Körper:
das grösste Volumen bei gegebenem Umfang bzw. gegebener Oberfläche erhält man stets, wenn der Körper der Form eines Würfels nahe kommt.
Aber gut, genau das gilt es ja nun nachzuweisen
:-)
Für einen Quader gilt zunächst allgemein
V = a * b * c
u = 4(a + b + c)
Da die Seitenflächen quadratisch sind gilt b=c
V = a * b * b
u = 4(a + 2b)
Nun soll Länge plus Umfang der quadratischen Seite 360cm gross sein.
Ich verstehe dies so:
a + 2b = 360
Es ist also nicht der Umfang des Quaders. Der wäre dann entsprechend:
u = 4(a + 2b) = 4*360 = 1440
Man stellt diese Gleichung nach b um und erhält:
b = 180 - a/2
Dies setzt man nun in die Volumengleichung ein:
V = a * (180 - a/2)^2
V = a * (32400 - 180a + (a^2)/4)
V = 32400a - 180a^2 + (a^3)/4)
Damit haben wir die Funktion, die das Volumen in Abhängigkeit von der Länge a beschreibt und zugleich die Bedingung erfüllt, dass a+2b=360cm sein soll.
Diese Funktion gilt es nun abzuleiten, um den Extremwert zu bestimmen.
V(a) = 32400a - 180a^2 + (a^3)/4)
V'(a) = 32400 - 360a + 3/4*a^2
0 = 32400 - 360a + 3/4*a^2
0 = 43200 - 480a + a^2
a1 = 240 + WURZEL((240*240) - 43200) = 240 + 120 = 360
a2 = 240 - WURZEL((240*240) - 43200) = 240 - 120 = 120
Man bildet die zweite Ableitung zur Einstufung der Extremwerte.
V''(a) = 1,5a - 360
V''(120) = - 180 => lokales Maximum
V''(360) = 180 => lokales Minimum
Für eine Kantenlänge von 360 cm erhielte man also ein lokales Minimum. Dieses Ergebnis scheidet aus drei Gründen aus:
1.) gesucht ist ein Maximum
2.) das Volumen wäre gleich NULL
3.) Die Kantenlänge soll maximal 200 cm betragen
Für eine Kantenlänge von 120 cm erhält man ein lokales Maximum. Und das ist es auch, was ja gesucht ist.
Und siehe da:
V = a * (180 - a/2)^2
V = 120 * (180 - 60)^2 = 120 * 120^2
Man erhält also bei einer Kantenlänge von 120 cm einen Würfel, da die beiden anderen Seiten ebenfalls 120 cm lang sein müssen.
Damit ist auch meine Behauptung vom Anfang nachgewiesen.
Also: Der Karton muss eine Länge von 120 cm haben, dann wird das Volumen bei der Vorgabe a+2b=360 maximal.
Und wie gross ist nun das Volumen?
V = 120^3 = 1728000 cm^3 oder 1,728 m^3
Das maximale Volumen des Karton betraegt also 1,728 Kubikmeter.
Alles klar?
Schönen Tag noch
Justin |
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