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Siri
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Januar, 2002 - 22:42: | 
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Hi ihr Lieben,
Als erstes einmal ein riesen Lob an euch, denn ich hab echt total Achtung vor den Leuten, die sich Tag täglich mit solchem Engagement dafür einsetzen, daß auch Schüler (wie ich), die eher mit weniger mathematischem Talent bestückt sind, auch mal was verstehen.
Mein Problem is ne Abituraufgabe, die ich gerne als Übungsaufgabe nutzen würde und dafür eine Art "Musterlösung" (also mit so ziemlich jeder wichtigen Einzelheit)zum Üben für ne Klausur so schnell wie möglich brauche. Hab auch schon Teile davon versucht zu rechnen, bin aber nicht wirklich weit gekommen 
Okay, dann is hier mal die Aufgabe:
In einem kartesischen Koordinatenystem sind die Punkte A(2;-1;3) und B(8;3;-1) sowie die Gerade h durch die Gleichung x=(0/-9/9)+s(3/2/-2) (sER) gegeben.
a) Die Gerade g geht durch die Punkte A und B. Zeigen Sie, dass die Gerade g und h parallel zueinander sind.
Die Geraden g und h liegen in einer Ebene E. Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E auf. (3BE)
b) Die Strecke AB ist die Basisseite eines gleichschenkligen Dreiecks ABC, dessen Punkt C auf der Geraden h
liegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C. (3BE)
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes D der Geraden h durch die x-y-Ebene. Durch den Punkt D verlaufen Geraden mit Richtungsverktor (2/u/0) (uER). Ermitteln Sie den Wert u, für den die zugehörige Gerade n senkrecht zur Geraden h verläuft. Geben Sie die Lage der Geraden n bezüglich der x-y-Ebene an (4BE)
Dann danke ich euch schon mal im Voraus und hoffe, ihr seid mir nicht allzu böse, daß ich euch meine Aufgabe hier einfach ohne nen Ansatz "hinschmeiße" .
Siri |
anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 14:42: |
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Hallo Siri!
Dann versuch ich doch mal, dir deine Aufgaben zu erklären (ich muss nur leider zugeben, dass ich die Aufgabe c nicht lösen kann!):
a) Als erstes muss die Gerade g aufgestellt werden. Als Aufpunkt nehme ich den Punkt A (du kannst dir aussuchen, ob du A oder B nimmst, aber das weißt du ja wahrscheinlich), und als Richtungsvektor (AB) = (B-A) = (6/4/-4), bei dem ich eine 2 herausnehme. Also ist mein Richtungsvektor (3/2/-2).
Als nächstes müssen wir die Richtungsvektoren von g und h vergleichen. Wenn g und h parallel sind, dann ist ein Richtungsvektor ein Vielfaches vom anderen:
(3/2/-2) = l(3/2/-2)
l = 1, also sind g und h parallel.
Nun müssen wir aber noch nachweisen, dass g und h echt parallel, und nicht identisch sind (sie also nicht aufeinanderliegen):
Dazu setzte ich den einen Aufpunkt in die Gleichung der anderen Geraden:
(2/-1/3) = (0/-9/9) + s(3/2/-2)
Wenn nun bei den drei Gleichungen jedesmal s den gleichen Wert annimmt, sind g und h identisch, da der Aufpunkt von g auf der Geraden von h liegt, ansonsten sind sie echt parallel:
I) 2 = 0 + 3s Þ s = 2/3
II) -1 = -9 + 2s Þ s = 4
III) 3 = 9 - 2s Þ s = 5/2
Also sind g und h echt parallel. q.e.d.
Für eine Ebengleichung benötigen wir einen Aufpunkt (hier A) und zwei Richtungsvektoren (AB und den Vektor durch A und den Aufpunkt von h)(VORSICHT: wir dürfen nicht den Richtungsvektor von g und den vonh nehmen, da diese ja dieselben sind!!!).
E:x = (2/-1/3) + t(3/2/-2) + a(1/4/-3)
b) Da C auf h liegt, kann man C allgemein ausdrücken: C = (3s / -9+2s / 9-2s)
Da C Teil eines gleichschenkligen Dreiecks ist, ist die Länge von AC gleich der Länge von BC.
/(3s-2 / 2s-8 / -2s+6)/ = /(3s-8 / 2s-12 / -2s+10)/
(3s-2)2 + (2s-8)2 + (-2s+6)2 = (3s-8)2 + (2s-12)2 + (-2s+10)2
17s2 - 68s +104 = 17s2 -136s + 308
68s = 204
s = 3
Also ist der C = (9/-3/3).
Ich hoffe, du hast alles verstanden, und ich hab keine Rechenfehler gemacht.
Maria |
chef
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 15:55: |
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Der Durchstoßpunkt hat die y-Koordinate 0
=> 9-2s=0
=> s=9/2
einsetzen D( 27/2 / 0 / 0 )
2 Geraden sind senkrecht, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander stehen.
=> (2/u/0)*(3/2/-2)=0
=> u=-3
Die Gerade liegt in der x-y-Ebene |
Beach
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 16:29: |
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Hallo chef, ich habe das gleiche herausbekommen, da ich aber keine Lust habe, das jetzt in den Papierkorb zu werfen, lade ich es trotzdem auf diese Seite. Ich denke, mit manchen "Einzelheiten" kann Siri noch was anfangen.
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes D der Geraden h durch die x-y-Ebene.
in der x-y-Ebene gilt z=0 =>
(x/y/0) = (0/-9/9) + s(3/2/-2)
=> x=0+3s, y=-9+2s, 0=9-2s=> s=4.5
=> x=13.5, y=0
=> D(13.5/0/0)
Durch den Punkt D(13.5/0/0) verlaufen Geraden mit Richtungsverktor (2/u/0) (uER). Ermitteln Sie den Wert u, für den die zugehörige Gerade n senkrecht zur Geraden h verläuft.
Richtungsverktor (2/u/0) muss senkrecht zum Richtungsvektor von h verlaufen; ihr Skalarprodukt muss gleich Null sein:
(2/u/0)•(3/2/-2) = 0, dies nach u auflösen:
2*3 + u*2 + 0*(-2) = 0 => u=-3
Eine mögliche Gleichung der Geraden n ist damit:
n: x=(13.5/0/0) + t*(2/-3/0), aber auf die letzte Frage:
Geben Sie die Lage der Geraden n bezüglich der x-y-Ebene an
weiß ich auch keine gescheite Antwort.
Dass die Gerade n die x-y-Ebene schneidet, ist bereits bekannt, und ansonsten liegt sie halt schief dazu, oder ist vielleicht gemeint, in welchem Winkel sich Gerade und x-y-Ebene schneiden?
Habt ihr schon mit Schnittwinkeln gerechnet? |
Siri
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 17:08: |
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Hi ihr drei!
Vielen, vielen Dank- hab grad alles nachgerechnet und hab´s (welch Wunder) sogar verstanden :-))
Ihr seid echt ne Hilfe!
Ähmm, die Schnittwinkel...kann mich dunkel daran erinnern, daß unser Lehrer was davon nebenbei erwähnt hat, wüßte aber jetzt auch nicht, wie man diese berechnet.
Viele Grüße, Siri |
Beach
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 15:34: |
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Hallo chef, du hast natürlich schon recht gehabt:
Die Gerade liegt in der x-y-Ebene
das habe ich übersehen. ich hätte es doch besser in den Papierkorb werfen sollen *.* |
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